Determine a série de Fourier da função dada:
(d)
Passo 1
Bom, primeiro devemos saber que uma série de Fourier é uma forma de expressarmos uma função qualquer em termos de séries infinitas de senos e cossenos.
Recomendo que você tente esboçar o gráfico para ver como ele irá se comportar; ao fazer isso você irá perceber que temos uma função ímpar, pois o gráfico é simétrico em relação à ORIGEM.
Se ainda não estiver convencido disso, realize o seguinte teste:
Por exemplo:
Essa é, na verdade, a definição de função ímpar.
Feito isso, vamos então introduzir a fórmula geral de uma série de Fourier:
Onde são os coeficientes da série e .
Agora vamos encontrar todos os coeficientes sabendo que eles possuem fórmulas específicas
Passo 2
- Cálculo de
- Cálculo de
- Cálculo de :
È muito importante que você se lembre da propriedade que diz:
Ela pode te poupar bastante tempo.
Como você percebeu que nossa é uma função ímpar, fica fácil ver que:
Outra sacada que pode te dar um tempo a mais nas provas, é que o produto de uma função ímpar por uma função par, resulta em outra função ímpar.
Sabendo que é ímpar e a função cosseno é par, teremos que .
E então:
Portanto,
Passo 3
Só nos resta um último passo, percebeu como saber essas propriedades agiliza o processo?
Então:
Dessa vez não teremos escapatória da integral, pois temos o produto de duas funções ímpares.
Então:
Você já deve ter notado que teremos que realizar 3 integrações por partes; então pega o terço aí e vamo na fé:
Repare que,
Próxima integral por partes:
Note que,
Pois de acordo com o ciclo trigonométrico, quando é inteiro.
Última integral por partes (eu acho):
Então,
Teremos,
Perceba que o segundo termo é zero.
Vamos retomar agora:
Vimos que o primeiro termo zera, e então substituindo :
Agora,
Então,
Finalmente,
Por último só nos resta substituir os coeficientes na fórmula geral:
Resposta
Nessas horas a gente nem olha o gabarito, então acredito que a série de Fourier para a função deve ser algo do tipo: