Determine x para que a série seja convergente.

sum_(n = 1)^(+ oo) (x^n)/(n^2)

Passo 1

Bora pra letra d !!

Usando o critério da razão:

L = underset(n -> oo)(lim) [(a_n + 1)/(a_n)] = underset(n -> oo)(lim) [((x^(n + 1))/(( n + 1 )^2))/((x^n)/(n^2))]

Sendo assim:

L = underset(n -> oo)(lim) [(x^(n + 1))/(( n + 1 )^2) xx (n^2)/(x^n)] = underset(n -> oo)(lim) [(x^n x)/(n^2 + 2 n + 1) xx (n^2)/(x^n)] = underset(n -> oo)(lim) [(x n^2)/(n^2 + 2 n + 1)]

Modificando um pouco isso daqui:

L = underset(n -> oo)(lim) [(x)/(1 + (2)/(n) + (1)/(n^2))] = |x|

Então a série irá convergir para:

|x| < 1

E fiiim !!

Resposta

|x| < 1

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