Determine x para que a série seja convergente.

sum_(n = 1)^(+ oo) (x^n)/(ln n)

Passo 1

Bora pra letra c !!

Usando o critério da razão:

L = underset(n -> oo)(lim) [(a_n + 1)/(a_n)] = underset(n -> oo)(lim) [((x^(n + 1))/(ln ( n + 1 )))/((x^n)/(ln n))]

Sendo assim:

L = underset(n -> oo)(lim) [(x^n x)/(ln ( n + 1 )) xx (ln n)/(x^n)] = underset(n -> oo)(lim) [(x . ln n)/(ln ( n + 1 ))]

Modificando um pouco isso daqui:

underset(n -> oo)(lim) [(x . ln n)/(ln ( n + 1 ))] = underset(n -> oo)(lim) [x] xx underset(n -> oo)(lim) [(ln n)/(ln ( n + 1 ))]

Já sabemos que:

underset(n -> oo)(lim) [x] = |x|

Para o segundo limite podemos usar o L’Hôpital e derivando o numerador e o denominador:

underset(n -> oo)(lim) [(ln n)/(ln ( n + 1 ))] = underset(n -> oo)(lim) [((1)/(n))/((1)/(n + 1))] = underset(n -> oo)(lim) [(n + 1)/(n)] = underset(n -> oo)(lim) [(1 + (1)/(n))/(1)] = 1

Então:

underset(n -> oo)(lim) [x] xx underset(n -> oo)(lim) [(ln n)/(ln ( n + 1 ))] = |x| xx 1 = |x|

Segundo as condições do critério da razão, para:

L < 1

A série é convergente, então a série é convergente para qualquer x:

|x| < 1

E fiiim !!

Resposta

|x| < 1

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