Utilizando o critério Raabe, verifique se a série é convergente:

∑ n = 1 + ∞ 1.3 . 5 … ( 2 n - 1 ) 2.4 . 6 … 2 n 1 2 n + 1      

Passo 1

Então galerinha, para ver se esta série é convergente nós vamos usar o critério de Raabe:

L = lim n → ∞ ⁡ n 1 - a n + 1 a n

Analisando o termo:

a n + 1 a n = 1.3 . 5 … ( 2 ( n + 1 ) - 1 ) 2.4 . 6 … 2 ( n + 1 ) 1 2 ( n + 1 ) + 1 × 2.4 . 6 … 2 n 1.3 . 5 … 2 n - 1 . 2 n + 1 1

a n + 1 a n = 2 n + 1 2 n + 2 × 2 n + 1 2 n + 3 = 4 n 2 + 4 n + 1 4 n 2 + 10 n + 6

Substituindo no limite:

L = lim n → ∞ ⁡ n 1 - 4 n 2 + 4 n + 1 4 n 2 + 10 n + 6 = lim n → ∞ ⁡ n 6 n + 5 4 n 2 + 10 n + 6 = lim n → ∞ ⁡ 6 n ² + 5 n 4 n 2 + 10 n + 6

Dividindo por n²:

L = lim n → ∞ ⁡ 6 + 5 n 4 + 10 n + 6 n 2 = 6 4 = 1,5

Portanto a série é convergente!!

Uma coisa bem legal é vocês fazerem o teste aí, usando o Excel e comprovando o que estamos vendo aqui !!

Bora seguir?

Resposta

C o n v e r g e   ‼

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