Determine x para que a série seja convergente.

sum_(n = 1)^(+ oo) (1.3 . 5 . ... . ( 2 n - 1 ))/(2.4 . 6 . ... . 2 n) x^(2 n)

Passo 1

Bora pra letra g !!

Usando o critério da razão:

L = underset(n -> oo)(lim) [(a_n + 1)/(a_n)] = underset(n -> oo)(lim) [((1.3 . 5 . ... . ( 2 n - 1 ) [ 2 ( n + 1 ) - 1 ])/(2.4 . 6 . ... . ( 2 n ) [ 2 (n + 1) ]) x^(2 ( n + 1 )))/((1.3 . 5 . ... . ( 2 n - 1 ))/(2.4 . 6 . ... . 2 n) x^(2 n))] = underset(n -> oo)(lim) [(1.3 . 5 . ... . ( 2 n - 1 ) [ 2 n + 1 ])/(2.4 . 6 . ... . ( 2 n ) [ 2 n + 2 ]) x^(2 n + 2) xx (2.4 . 6 . ... . 2 n)/(1.3 . 5 . ... . ( 2 n - 1 ) x^(2 n))]

Sendo assim:

L = underset(n -> oo)(lim) [(2 n + 1)/(2 n + 2) xx (x^(2 n + 2))/(x^(2 n))] = underset(n -> oo)(lim) [(2 n (1 + (1)/(2 n)))/(2 n (1 + (2)/(2 n))) xx (x^(2 n) x^2)/(x^(2 n))]

Reorganizando:

L = underset(n -> oo)(lim) [((1 + (1)/(2 n)))/((1 + (2)/(2 n))) x^2] = | x^2 |

Então a série irá convergir para:

| x^2 | < 1

Aplicando a raiz:

|x| < 1

E fiiim !!

Resposta

| x | < 1

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