Determine uma solução da equação dada que satisfaz as condições iniciais dadas. (Proceda como no Exemplo 3 da Seção 8.3).

y "   = x ² y ,     y ( 0 ) = 1   e   y ' ( 0 ) = 0

Passo 1

Bora começar a letra (d) !!

Animados, não é??

y x = ∑ n = 0 + ∞ a n x n

Sendo assim, as derivadas ficam fáceis:

y ' x = ∑ n = 1 + ∞ n a n x n - 1

y " x = ∑ n = 2 + ∞ n n - 1 a n x n - 2

Na fórmula:

∑ n = 2 + ∞ n n - 1 a n x n - 2 - x ² ∑ n = 0 + ∞ a n x n = 0

∑ n = 2 + ∞ n n - 1 a n x n - 2 - ∑ n = 0 + ∞ a n x n + 2 = 0

Reorganizando:

∑ n = - 2 + ∞ ( n + 4 ) n + 3 a n + 4 x n + 2 - ∑ n = 0 + ∞ a n x n + 2 = 0

2 a 2 + 2.3 a 3 x + ∑ n = 0 + ∞ ( n + 4 ) n + 3 a n + 4 x n + 2 - ∑ n = 0 + ∞ a n x n + 2 = 0

Agora conseguimos isolar tudo em função de x n + 2 :

2 a 2 + 2.3 a 3 x + ∑ n = 0 + ∞ n + 4 n + 3 a n + 4 - a n x n + 2 = 0

Para atendermos esta igualdade os dois termos devem ser iguais a 0, certo?

2 a 2 + 2.3 a 3 x = 0

n + 4 n + 3 a n + 4 - a n = 0

Olhando a equação 1 do Passo 1, nós concluímos que a 2 = a 3 = 0 , concordam?

Vamos guardar esta informação!!

Passo 2

Olhando as condições nós vemos que:

y ( 0 ) = 1

Ou seja, quando x = 0 a nossa função y é somente:

y 0 = a 0 = 1

A próxima:

y ' ( 0 ) = 0

Ou seja, quando x = 0 a nossa função y é somente:

y ' 0 = a 1 = 0

Recapitulando a equação 2 do Passo 1:

a n + 4 = a n n + 3 n + 4

Substituindo:

a 4 = a 0 4.5 = 1 3.4

a 5 = a 1 5 . 6 = 0

a 6 = a 2 6 . 7 = 0

Continuando:

a 7 = a 3 7 . 8 = 0

a 8 = a 4 7.8 = 1 3.4 . 7.8

a 1 2 = a 8 11.11 = 1 3.4 . 7.8 . 11.12

Analisando esta equação nós podemos ver um padrão:

a 4 n + 1 = 0

E os coeficiente que vão apresentar um valor diferente de zero são:

a 4 n + 1 ≠ 0

Se é assim:

y x = ∑ n = 0 + ∞ a 4 n x 4 n

E é isto aí galerinhaa !!

Resposta

y x = ∑ n = 0 + ∞ a 4 n x 4 n

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