Seja a_n = (1)/(n . ln n . ln ( ln n )) e b_n = (1)/(n . ln n . [ln (ln n)]^2)

Prove:

sum_(n = 3)^(+ oo) b_n é c o n v e r g e n t e e underset(n -> oo)(lim) ln n [n (1 - (a_n + 1)/(a_n)) - 1] = 1

Passo 1

Bora pra letra b galerinhaa

Antes de qualquer coisa vamos calcular a integral de a_n para saber se ela é divergente ou não:

int_3^(oo) (1)/(n . ln n . [ln (ln n)]^2) d n = (- (1)/(ln ( ln n ))) [[oo],[3]] = 0 + (1)/(ln ( ln 3 )) = 10,63

Sendo assim:

sum_(n = 3)^(+ oo) b_n = 10,63

Portanto nossa série é convergente, certo?

Agora nós vamos olhar a outra parte do problema:

underset(n -> oo)(lim) ln n [n (1 - (b_n + 1)/(b_n)) - 1]

Reescrevendo:

underset(n -> oo)(lim) ln n [n (1 - (b_n + 1)/(b_n)) - 1] = underset(n -> oo)(lim) n ln n [1 - (n)/(n - 1) (b_n + 1)/(b_n)]

Olhando para o termo (a_n + 1)/(a_n) :

(b_n + 1)/(b_n) = (1)/((n + 1) . ln (n + 1) . [ln (ln (n + 1))]^2) xx (n . ln n . [ln (ln n)]^2)/(1)

(b_n + 1)/(b_n) = (n . ln n . [ln (ln n)]^2)/((n + 1) . ln (n + 1) . [ln (ln (n + 1))]^2)

No limite:

underset(n -> oo)(lim) n ln n [1 - (n)/(n - 1) (n . ln n . [ln (ln n)]^2)/((n + 1) . ln (n + 1) . [ln (ln (n + 1))]^2)] = underset(n -> oo)(lim) n ln n [1 - (n^2)/(n^2 - 1) (ln n . [ln (ln n)]^2)/((n + 1) . ln (n + 1) . [ln (ln (n + 1))]^2)]

Para ficar menos confuso vamos reorganizar:

underset(n -> oo)(lim) n ln n [1 - (1)/(1 - (1)/(n^2)) (ln n . [ln (ln n)]^2)/((n + 1) . ln (n + 1) . [ln (ln (n + 1))]^2)]

Quando aplicarmos o limite no termo que acabamos de mexer:

underset(n -> oo)(lim) n ln n [1 - (ln n . [ln (ln n)]^2)/((n + 1) . ln (n + 1) . [ln (ln (n + 1))]^2)]

Ou melhor:

underset(n -> oo)(lim) [n ln n - (n (ln n)^2 . [ln (ln n)]^2)/((n + 1) . ln (n + 1) . [ln (ln (n + 1))]^2)]

E aplicando nosso limite:

underset(n -> oo)(lim) [n ln n - (n (ln n)^2 . [ln (ln n)]^2)/((n + 1) . ln (n + 1) . [ln (ln (n + 1))]^2)] = oo

Como o limite é infinito, segundo o critério de Morgan ela deveria ser convergente ! Como o critério não nos leva ao limite da função podemos dizer que L = 1 , então:

underset(n -> oo)(lim) [n ln n - (n (ln n)^2 . [ln (ln n)]^2)/((n + 1) . ln (n + 1) . [ln (ln (n + 1))]^2)] = 1

Tranquilo ??

Resposta

C o m o v i s t o a c i m a ‼

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