Determine a solução geral:
Passo 1
Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.
A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:
Onde, é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.
E é justamente a parte particular da solução.
Passo 2
Vamos começar encontrando :
Seja a seguinte equação auxiliar,
Teremos então duas raízes complexas:
Com .
Temos então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
Temos a seguinte EDL:
Como , é válido dizer que esperamos encontrar exponencial também na solução particular; então supondo uma solução do tipo:
Teremos que:
E
Substituindo na equação original:
Teremos então que:
Relacionando ambos lados da igualdade, concluímos que,
Logo,
Resposta
Portanto, a solução geral é dada pela soma das soluções homogênea e particular, logo: