Determine a solução geral:

  1. overset(¨)(x) + x = e^(- t)

Passo 1

Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.

A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde, x_h é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.

E x_p é justamente a parte particular da solução.

Passo 2

Vamos começar encontrando x_h :

Seja a seguinte equação auxiliar,

m^2 + 1 = 0

Teremos então duas raízes complexas:

m_1 = - i e m_2 = + i

Com a = 0 e b = 1 .

Temos então:

x_h (t) = e^(a t) [C_1 cos (b t) + C_2 sin (b t)]

x_h (t) = C_1 cos (t) + C_2 sin (t)

Passo 3

Agora, vamos encontrar x_p :

Temos a seguinte EDL: overset(¨)(x) + x = e^(- t)

Como g (t) = e^(- t) , é válido dizer que esperamos encontrar exponencial também na solução particular; então supondo uma solução do tipo:

x_p (t) = A e^(- t)

Teremos que:

overset(˙)(x)_p = - A e^(- t)

E

overset(¨)(x)_p = A e^(- t)

Substituindo na equação original:

underset(overset(¨)(x))(ubrace (A e^(- t))) + underset(x)(ubrace (A e^(- t))) = e^(- t)

Teremos então que:

2 A e^(- t) = e^(- t)

Relacionando ambos lados da igualdade, concluímos que,

2 A = 1 -> A = (1)/(2)

Logo,

x_p (t) = (1)/(2) e^(- t)

Resposta

Portanto, a solução geral é dada pela soma das soluções homogênea e particular, logo:

x (t) = C_1 cos (t) + C_2 sin (t) + (1)/(2) e^(- t)

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