Determine a solução geral:

(b) (d^2 y)/(d x^2) - y = cos (x)

Passo 1

Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.

A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:

y (x) = y_h (x) + y_p (x)

Onde, y_h é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.

E y_p é justamente a parte particular da solução.

Passo 2

Então, podemos usar a seguinte equação auxiliar para encontrar y_h :

m^2 - 1 = 0

Trivialmente encontramos as seguintes raízes:

m_1 = 1 e m_2 = - 1

Logo,

y_h (x) = C_1 e^(m_1 x) + C_2 e^(m_2 x)

y_h (x) = C_1 e^x + C_2 e^(- x)

Passo 3

Agora, vamos obter y_p (x) :

Sendo a equação original: (d^2 y)/(d x^2) - y = g (x) = cos (x)

Como em g (x) temos uma função trigonométrica, é de se esperar que ela apareça também na solução particular; então supondo uma solução do tipo:

y_p (x) = A cos (x) + B sin (x)

Teremos:

y_p^' (x) = - A sin (x) + B cos (x)

E

y_p^(' ') = - A cos (x) - B sin (x)

Substituindo ambas na equação original:

(- A cos (x) - B sin (x)) - (A cos (x) + B sin (x)) = cos (x)

(- 2 A) cos (x) + (- 2 B) sin (x) = cos (x)

Relacionando ambos os lado da igualdade:

(- 2 A) = 1 -> A = - (1)/(2)

B = 0

Então:

y_p (x) = - (1)/(2) cos (x)

Resposta

Portanto, como a solução geral para a EDL é dada pela soma das soluções homogênea e particular, ela assumirá a seguinte forma:

y (x) = C_1 e^x + C_2 e^(- x) - (1)/(2) cos (x)

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