Determine a solução geral:
Passo 1
Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.
A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:
Onde, é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.
E é justamente a parte particular da solução.
Passo 2
Para encontrarmos , considere a seguinte equação auxiliar:
Trivialmente podemos encontrar as duas raízes:
Portanto, obtemos a seguinte solução homogênea:
Mas como as raízes são iguais:
Passo 3
Agora podemos encontrar a solução particular da EDL.
Tomando a seguinte EDL: com
Perceba que em temos uma função polinomial e uma exponencial, de forma que devemos esperar essas mesmas funções na solução particular; portanto vamos supor uma solução do tipo:
Mas repare que ambas as partes da solução particular já existem na solução homogênea, como elas não devem ser iguais, vamos supor então a seguinte solução:
De forma que obtemos:
E
Substituindo na EDL e simplificando, obtemos:
Relacionando os dois lados da igualdade:
Portanto, nossa solução particular assume a seguinte forma:
Resposta
Uma vez que a solução geral é a soma das soluções particular e homogênea, teremos o seguinte: