Determine a solução geral:

  1. overset(¨)(x) - 4 overset(˙)(x) + 4 x = t e^(2 t)

Passo 1

Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.

A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde, x_h é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.

E x_p é justamente a parte particular da solução.

Passo 2

Para encontrarmos x_h , considere a seguinte equação auxiliar:

m^2 - 4 m + 4 = 0

Trivialmente podemos encontrar as duas raízes:

m_1 = m_2 = 2

Portanto, obtemos a seguinte solução homogênea:

x_h (t) = C_1 e^(m_1 t) + C_2 e^(m_2 t)

Mas como as raízes são iguais:

x_h (t) = C_1 e^(m_1 t) + C_2 t e^(m_2 t)

x_h (t) = C_1 e^(2 t) + C_2 t e^(2 t)

Passo 3

Agora podemos encontrar a solução particular da EDL.

Tomando a seguinte EDL: overset(¨)(x) - 4 overset(˙)(x) + 4 x = g (t) , com g (t) = t e^(2 t)

Perceba que em g (t) temos uma função polinomial e uma exponencial, de forma que devemos esperar essas mesmas funções na solução particular; portanto vamos supor uma solução do tipo:

x_p (t) = underset(p o l i n o m i a l)(ubrace (A t + B)) underset(e x p o n e n c i a l)(ubrace e^(2 t))

Mas repare que ambas as partes da solução particular já existem na solução homogênea, como elas não devem ser iguais, vamos supor então a seguinte solução:

x_p (t) = A t^2 e^(2 t) + B t^3 e^(2 t)

De forma que obtemos:

x_p^' (t) = e^(2 t) [2 A t + 2 A t^2] + e^(2 t) [3 B t^2 + 2 B t^3]

E

x_p^(' ') (t) = e^(2 t) [4 A t^2 + 8 A t + 2 A] + e^(2 t) [ 4 B t^3 + 12 B t^2 + 6 B t ]

Substituindo na EDL e simplificando, obtemos:

6 B t e^(2 t) + 2 A e^(2 t) = t e^(2 t)

Relacionando os dois lados da igualdade:

2 A = 0 -> A = 0

6 B = 1 -> B = (1)/(6)

Portanto, nossa solução particular assume a seguinte forma:

x_p (t) = (1)/(6) t^3 e^(2 t)

Resposta

Uma vez que a solução geral é a soma das soluções particular e homogênea, teremos o seguinte:

x (t) = C_1 e^(2 t) + C_2 t e^(2 t) + (t^3)/(6) e^(2 t)

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