Determine a solução geral:

(o) overset(¨)(x) + 4 x = t + e^t

Passo 1

Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.

A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde, x_h é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.

E x_p é justamente a parte particular da solução.

Passo 2

Considere então a seguinte equação auxiliar:

m^2 + 4 = 0

Trivialmente obtemos as seguintes raízes complexas:

m_1 = 0 - 2 i e m_2 = 0 + 2 i

Com a = 0 e b = 2

Então a solução homogênea é dada por:

x_h (t) = e^(a t) [C_1 cos (b t) + C_2 sin (b t)]

x_h (t) = C_1 cos (2 t) + C_2 sin (2 t)

Passo 3

Para a solução particular, vamos levar em conta que g (t) = t + e^t é uma função exponencial somada a uma polinomial, então devemos propor uma solução do tipo:

x_p (t) = A t + B + C e^t

De onde obtemos:

x_p^' (t) = A + C e^t

E

x_p^(' ') (t) = C e^t

Substituindo na EDL:

C e^t + 4 A t + 4 B + 4 C e^t = t + e^t

Relacionando ambos os lados da igualdade:

5 C = 1 -> C = (1)/(5)

4 A = 1 -> A = (1)/(4)

4 B = 0 -> B = 0

Portanto, a solução particular será da seguinte forma:

x_p (t) = (1)/(4) t + (1)/(5) e^t

Resposta

COncluimos que a solução geral será dada por:

x (t) = C_1 cos (2 t) + C_2 sin (2 t) + (1)/(4) t + (1)/(5) e^t

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