Determine a solução geral:
(c)
Passo 1
Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.
A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:
Onde, é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.
E é justamente a parte particular da solução.
Passo 2
Vamos começar encontrando :
Seja a seguinte equação auxiliar,
Teremos então duas raízes complexas:
Com .
Temos então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
Temos a seguinte EDL:
Como é trigonométrica, é de se esperar que na solução particular também apareça uma função trigonométrica, então supondo uma solução do tipo:
Mas repare, que essa resposta é igual à ,como isso não é possível então devemos utilizar:
Onde teremos:
E
Substituindo na equação original:
Relacionando ambos os lados da igualdade:
Então:
Resposta
Concluimos que a solução geral da EDL será igual a soma das soluções particular e homogênea, temos então: