Determine a solução geral:

(c) overset(¨)(x) + x = sin (t)

Passo 1

Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.

A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde, x_h é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.

E x_p é justamente a parte particular da solução.

Passo 2

Vamos começar encontrando x_h :

Seja a seguinte equação auxiliar,

m^2 + 1 = 0

Teremos então duas raízes complexas:

m_1 = - i e m_2 = + i

Com a = 0 e b = 1 .

Temos então:

x_h (t) = e^(a t) [C_1 cos (b t) + C_2 sin (b t)]

x_h (t) = C_1 cos (t) + C_2 sin (t)

Passo 3

Agora, vamos encontrar x_p :

Temos a seguinte EDL: overset(¨)(x) + x = g (t) = s i n ( t )

Como g (t) é trigonométrica, é de se esperar que na solução particular também apareça uma função trigonométrica, então supondo uma solução do tipo:

x_p (t) = A cos (t) + B sin (t)

Mas repare, que essa resposta é igual à x_h (t) ,como isso não é possível então devemos utilizar:

x_p (t) = A t cos (t) + B t sin (t)

Onde teremos:

x_p^' (t) = sin (t) (B - A t) + cos (t) (A + B t)

E

x_p^(' ') (t) = cos (t) (2 B - A t) - sin (t) ( 2 A + B t )

Substituindo na equação original:

[cos (t) (2 B - A t) - sin (t) (2 A + B t)] + [A t cos (t) + B t sin (t)] = sin (t)

2 B cos (t) - 2 A sin (t) = sin (t)

Relacionando ambos os lados da igualdade:

- 2 A = 1 -> A = - (1)/(2)

B = 0

Então:

x_p (t) = - (1)/(2) t cos (t)

Resposta

Concluimos que a solução geral da EDL será igual a soma das soluções particular e homogênea, temos então:

x (t) = C_1 cos (t) + C_2 sin (t) - (1)/(2) t cos (t)

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