Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 1l (1)
Determine a solução geral.
Passo 1
A solução geral que estamos buscando é da forma
Onde é a solução homogênea e a solução particular.
Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação
Vamos então supor a solução , para isso calculamos as derivadas
Substituindo na equação temos
Colocando em evidência
Passo 2
Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada
Temos uma situação de duas raízes iguais, então
Portanto a solução homogênea é da forma
Onde e são constantes reais, ou .
Passo 3
Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é .
Temos então como entrada um cosseno, para esse tipo de entrada, como o coeficiente da primeira derivada não é nulo, vamos supor que a solução particular tem a cara
Calculando as derivadas
Substituindo então na equação
Temos então o sistema
Isolando na segunda equação
Substituindo na primeira
Logo
E a solução particular é dada por
E a solução geral é dada por
Com .