Determine a solução geral:

(h) (d^2 y)/(d x^2) - 4 y = x e^(2 x)

Passo 1

Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.

A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:

y (x) = y_h (x) + y_p (x)

Onde, y_h é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.

E y_p é justamente a parte particular da solução.

Passo 2

Então, podemos usar a seguinte equação auxiliar para encontrar y_h :

m^2 - 4 = 0

Trivialmente encontramos as seguintes raízes:

m_1 = 2 e m_2 = - 2

A solução homogênea assume a seguinte forma:

y_h (x) = C_1 e^(m_1 x) + C_2 e^(m_2 x)

y_h (x) = C_1 e^(2 x) + C_2 e^(- 2 x)

Passo 3

Agora, vamos obter y_p

Levando em conta a EDL, (d^2 y)/(d x^2) - 4 y = g ( x ) , onde g (x) = x e^(2 x) ; então é de se esperar que na solução particular tenha um polinômio e/ou um exponencial.

Portanto, vamos supor a seguinte solução:

y_p (x) = (A x + B) e^(2 x)

Mas repare que a solução B e^(2 x) já existe em y_h , então afim de evitar que as soluções sejam iguais, vamos supor:

y_p (x) = A x e^(2 x) + B x^2 e^(2 x)

Obtemos:

y_p^' (x) = e^(2 x) [2 A x + A + 2 B x^2 + 2 B x]

E

y_p^(' ') (X) = e^(2 x) [4 A x + 4 A + 4 B x^2 + 8 B x + 2 B]

Substituindo na equação original:

e^(2 x) [4 A x + 4 A + 4 B x^2 + 8 B x + 2 B] - 4 [A x e^(2 x) + B x^2 e^(2 x)] = x e^(2 x)

8 B x e^(2 x) + (4 A + 2 B) e^(2 x) = x e^(2 x)

Relacionando ambos os lados da igualdade:

8 B = 1 -> B = (1)/(8)

(4 A + 2 B) = 0 -> A = - (1)/(16)

Portanto, a solução particular da EDL assume a seguinte forma:

y_p (x) = - (1)/(16) x e^(2 x) + (1)/(8) x^2 e^(2 x)

Resposta

Como a solução geral para a EDL é obtida através da soma das soluções homogênea e particular, teremos então:

y (x) = C_1 e^(2 x) + C_2 e^(- 2 x) + (- (x)/(16) + (x^2)/(8)) e^(2 x)

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