Determine a solução geral:
(h)
Passo 1
Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.
A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:
Onde, é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.
E é justamente a parte particular da solução.
Passo 2
Então, podemos usar a seguinte equação auxiliar para encontrar :
Trivialmente encontramos as seguintes raízes:
A solução homogênea assume a seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos obter
Levando em conta a EDL, , onde ; então é de se esperar que na solução particular tenha um polinômio e/ou um exponencial.
Portanto, vamos supor a seguinte solução:
Mas repare que a solução já existe em , então afim de evitar que as soluções sejam iguais, vamos supor:
Obtemos:
E
Substituindo na equação original:
Relacionando ambos os lados da igualdade:
Portanto, a solução particular da EDL assume a seguinte forma:
Resposta
Como a solução geral para a EDL é obtida através da soma das soluções homogênea e particular, teremos então: