Determine a solução geral:

(c) overset(⃛)(x) - 2 overset(¨)(x) + 4 overset(˙)(x) - 8 x = 0

Passo 1

Trata-se de uma EDL de 3º ordem e homogênea, sabendo disso podemos utilizar do uso de equações auxiliares para encontrar uma solução geral.

Seja então a seguinte equação auxiliar:

m^3 - 2 m^2 + 4 m - 8 = 0

Passo 2

Trivialmente, percebemos que 2 é uma raíz da equação, pois:

2^3 - 2 . 2^2 + 4 . 2 - 8 = 0

Então temos, m_1 = 2

Partindo disso, podemos obter uma equação de segundo grau aplicando Briot-Ruffini:

m^2 + 4 = 0

O que resulta em duas raízes complexas:

m_2 = 0 + 2 i e m_3 = 0 - 2 i

Onde, a = 0 e b = 2

Passo 3

Perceba então, que temos uma raíz real e duas raízes complexas, vamos dividir a solução geral em duas etapas, uma real e outra complexa:

  1. Etapa real:
  2. x (t) = C_1 e^(m_1 t)

    x (t) = C_1 e^(2 t)

  3. Etapa complexo:

x (t) = e^(a t) [C_2 cos (b t) + C_3 sin (b t)]

x (t) = C_2 cos (2 t) + C_3 sin (2 t)

A solução geral será dada pela soma de ambas as etapas:

x (t) = C_1 e^(2 t) + C_2 cos (2 t) + C_3 sin (2 t)

Resposta

Concluimos então, que a solução geral para a EDL, assumirá a seguinte forma:

x (t) = C_1 e^(2 t) + C_2 cos (2 t) + C_3 sin (2 t)

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