Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo O x sob ação da força elástica - x   i → e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade dada por - c x ˙   i → ( c > 0 ) . Determine c para que o movimento seja:

  1. Fortemente amortecido.

Passo 1

Lembrando, pela segunda Lei de Newton:

m x ¨ = - x - c x ˙

Então,

x ¨ + c x ˙ + x = 0

Temos então, uma EDL homogênea de 2º ordem, podemo encontrar a solução geral pelo método dos coeficientes constantes aplicando uma equação auxiliar.

Passo 2

Por definição sabemos que o sistema será fortemente amortecido ou supercrítico, quando as raízes da equação auxiliar forem reais e distintas.

Podemos utilizar a seguinte equação auxiliar:

m 2 + c m + 1 = 0

m = - c ± c 2 - 4 2

Passo 3

Podemos notar que,

m 1 = - c + c 2 - 4 2     e   m 2 = - c - c 2 - 4 2

Trivialmente percebemos que para obtermos raízes reais e distintas,

c 2 - 4 > 0

Portanto

  c > 2

Pois de acordo com o enunciado c > 0 .

Resposta

Portanto, para que tanhamos um sistema fortemente amortecido, a equação do movimento:

x ¨ + c x ˙ + x = 0   c o m   c > 2

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