Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas.

(d) d x d t + x = cos ⁡ t ,   x 0 = - 1 2

Passo 1

Primeiramente perceba que temos uma EDL de 1ºgrau e não-homogênea, portanto a solução geral será dada por:

x t = x h t + x p t

Onde x h é a parte homogênea da solução, e x p   a solução particular uma vez que a EDL não é homogênea.

Passo 2

A solução homogênea pode ser obtida trivialmente pois sabemos que a solução geral de uma EDL homogênea de 1º grau é:

x t = C   e - a t

Onde a é a constante que multiplica x   na EDL.

Ou seja, no nosso caso a = 1

Portanto a solução homogênea:

x h t = C   e - t

Passo 3

Agora, para obtermos a solução particular, perceba que g t = c o s ⁡ ( t ) é uma função trigonométrica; portanto espera-se que a solução também seja.

Podemos então propor uma solução do tipo:

x p t = A cos ⁡ t + B sin ⁡ t

De onde obtemos:

x p ' t = - A sin ⁡ t + B cos ⁡ t

Se substituirmos na equação original, teremos:

- A sin ⁡ t + B cos ⁡ t + A cos ⁡ t + B sin ⁡ t = cos ⁡ t

B + A cos ⁡ t + B - A sin ⁡ t = cos ⁡ t

Relacionando os dois lados:

B - A = 0 → A = B

B + A = 1 → A = 1 2 = B

Portanto, a solução particular:

x p t = 1 2 cos ⁡ t + sin ⁡ t  

Resposta

Uma vez que a solução geral é dada pela soma das soluções homogênea e particular, teremos:

x t = C   e - t + 1 2 cos ⁡ t + sin ⁡ t

Aplicando a condição inicial, x 0 = - 1 2

Encontramos C = - 1 , e então:

x t = - e - t + cos ⁡ t + sin ⁡ t 2

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