Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
(d)
Passo 1
Primeiramente perceba que temos uma EDL de 1ºgrau e não-homogênea, portanto a solução geral será dada por:
Onde é a parte homogênea da solução, e a solução particular uma vez que a EDL não é homogênea.
Passo 2
A solução homogênea pode ser obtida trivialmente pois sabemos que a solução geral de uma EDL homogênea de 1º grau é:
Onde é a constante que multiplica na EDL.
Ou seja, no nosso caso
Portanto a solução homogênea:
Passo 3
Agora, para obtermos a solução particular, perceba que é uma função trigonométrica; portanto espera-se que a solução também seja.
Podemos então propor uma solução do tipo:
De onde obtemos:
Se substituirmos na equação original, teremos:
Relacionando os dois lados:
Portanto, a solução particular:
Resposta
Uma vez que a solução geral é dada pela soma das soluções homogênea e particular, teremos:
Aplicando a condição inicial,
Encontramos , e então: