Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
(e)
Passo 1
Primeiro, note que temos uma EDL de 2º grau e não-homogênea pois .
Então podemos obter a solução geral da seguinte forma:
Onde é a etapa homogênea da solução, podendo ser obtida a partir das equações auxiliares; e é a solução particular.
Passo 2
Então, considere a seguinte equação auxiliar:
Obtemos duas raízes complexas:
Obs: lembrando que as raízes complexas possuem um formato do tipo: .
Onde
Teremos então a seguinte solução homogênea:
Passo 3
Agora, sabendo que é uma funç��o trigonométrica, então a EDL admite uma solução do tipo:
Mas repare que essa resposta já existe na solução homogênea, portanto devemos multiplicar em ambos os termos da solução particular:
De onde podemos obter:
Substituindo na equação original, encontramos:
Podemos estabelecer a seguinte relação:
E então temos a seguinte solução particular:
Portanto a solução geral será:
E
Resposta
Aplicando as condições iniciais, encontramos:
Então a solução da EDL será: