Determine a solução geral:

(d) (d^2 y)/(d x^2) - y = 4 e^(- x)

Passo 1

Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.

A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:

y (x) = y_h (x) + y_p (x)

Onde, y_h é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.

E y_p é justamente a parte particular da solução.

Passo 2

Então, podemos usar a seguinte equação auxiliar para encontrar y_h :

m^2 - 1 = 0

Trivialmente encontramos as seguintes raízes:

m_1 = 1 e m_2 = - 1

Logo,

y_h (x) = C_1 e^(m_1 x) + C_2 e^(m_2 x)

y_h (x) = C_1 e^x + C_2 e^(- x)

Passo 3

Agora, vamos obter y_p (x) :

Sendo a equação original: (d^2 y)/(d x^2) - y = g (x) = 4 e^(- x)

Como g (x) é uma função exponencial, esperamos que o exponencial também apareça na solução, então supondo uma soluição do tipo:

y_p (x) = A e^(- x)

Repare que essa solução já aparece em y_h então devemos ter:

y_p (x) = A x e^(- x)

Com,

y_p^' (x) = A e^(- x) (1 + x)

E

y_p^(' ') (x) = A x e^(- x) - 2 A e^(- x)

Substituindo na EDL original:

[A x e^(- x) - 2 A e^(- x)] - [A x e^(- x)] = 4 e^(- x)

- 2 A e^(- x) = 4 e^(- x)

Relacionando ambos os lados da igualdade, obtemos:

- 2 A = 4 -> A = - 2

Portanto, a solução particular será:

y_p (x) = - 2 e^(- x)

Resposta

Concluimos que a solução geral da EDL será dada pela soma das soluções homogênea e particular, então:

y (x) = C_1 e^x + C_2 e^(- x) - 2 e^(- x)

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