Determine a solução geral:
(d)
Passo 1
Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.
A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:
Onde, é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.
E é justamente a parte particular da solução.
Passo 2
Então, podemos usar a seguinte equação auxiliar para encontrar :
Trivialmente encontramos as seguintes raízes:
Logo,
Passo 3
Agora, vamos obter :
Sendo a equação original:
Como é uma função exponencial, esperamos que o exponencial também apareça na solução, então supondo uma soluição do tipo:
Repare que essa solução já aparece em então devemos ter:
Com,
E
Substituindo na EDL original:
Relacionando ambos os lados da igualdade, obtemos:
Portanto, a solução particular será:
Resposta
Concluimos que a solução geral da EDL será dada pela soma das soluções homogênea e particular, então: