Determine a solução geral:
(e)
Passo 1
Perceba que temos uma EDL homogênea de grau 4, podemos novamente utilizar as equações auxiliares para encontrar uma solução geral:
Seja então a seguinte equação auxiliar:
Podemos identificar que:
Então temos as duas primeiras raízes:
Passo 2
Aplicando Briot-Ruffini,usando a primeira raíz, encontramos a seguinte equação de terceiro grau:
Aplicando novamente, dessa vez utilizando a segunda raíz, encontramos a equação de segundo grau:
Podemos perceber que:
As ultimas duas raízes são complexas, lembrando que :
Logo,
Passo 3
Perceba então que temos duas raízes reais e distintas, e duas raízes complexas; de modo que podemos dividir a solução geral em duas etapas:
- Etapa Real:
- Etapa complexas:
A solução geral será obtida pela soma das etapas:
Resposta
Concluimos que uma solução geral para a EDL assume a seguinte forma: