Determine a solução geral:

(e) (d^4 y)/(d x^4) - 16 y = 0

Passo 1

Perceba que temos uma EDL homogênea de grau 4, podemos novamente utilizar as equações auxiliares para encontrar uma solução geral:

Seja então a seguinte equação auxiliar:

m^4 - 16 = 0

Podemos identificar que:

m = root(4)(16) = +- 2

Então temos as duas primeiras raízes:

m_1 = 2 e m_2 = - 2

Passo 2

Aplicando Briot-Ruffini,usando a primeira raíz, encontramos a seguinte equação de terceiro grau:

m^3 + 2 m^2 = 4 m + 8 = 0

Aplicando novamente, dessa vez utilizando a segunda raíz, encontramos a equação de segundo grau:

m^2 + 4 = 0

Podemos perceber que:

m = sqrt(- 4) = +- 2 i

As ultimas duas raízes são complexas, lembrando que m = a +- b i :

m_3 = + 2 i e m_4 = - 2 i

Logo, a = 0 e b = 2

Passo 3

Perceba então que temos duas raízes reais e distintas, e duas raízes complexas; de modo que podemos dividir a solução geral em duas etapas:

  1. Etapa Real:
  2. y (x) = C_1 e^(m_1 x) + C_2 e^(m_2 x)

    y (x) = C_1 e^(2 x) + C_2 e^(- 2 x)

  3. Etapa complexas:

y (x) = e^(a x) [C_3 cos (b x) + C_4 sin (b x)]

y (x) = C_3 cos (2 x) + C_4 sin (2 x)

A solução geral será obtida pela soma das etapas:

y (x) = C_1 e^(2 x) + C_2 e^(- 2 x) + C_3 cos (2 x) + C_4 sin (2 x)

Resposta

Concluimos que uma solução geral para a EDL assume a seguinte forma:

y (x) = C_1 e^(2 x) + C_2 e^(- 2 x) + C_3 cos (2 x) + C_4 sin (2 x)

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