Determine a solução geral:

(n) overset(¨)(x) + 2 overset(˙)(x) + 2 x = e^(- t) cos (t)

Passo 1

Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.

A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde, x_h é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.

E x_p é justamente a parte particular da solução.

Passo 2

Seja a seguinte equação auxiliar:

m^2 + 2 m + 2 = 0

Teremos as seguintes raízes complexas:

m_1 = - 1 - i e m_2 = - 1 + i

Onde a = - 1 e b = 1

Logo, a solução homogênea terá a seguinte forma:

x_h (t) = e^(a t) [C_1 cos (b t) + C_2 sin (b t)]

x_h (t) = e^(- t) [C_1 cos (t) + C_2 sin (t)]

Passo 3

Agora para encontrarmos x_p , perceba que na EDL:

overset(¨)(x) + 2 overset(˙)(x) + 2 x = g (t) , c o m g (t) = e^(- t) cos (t)

g (t) é uma função exponencial e trigonométrica, de forma que devemos encontrar essas mesmas funções na solução particular; então vamos propor uma solução do tipo:

x_p (t) = A e^(- t) cos (t) + B e^(- t) sin (t)

Repare que essa solução é exatamente igual à homogênea, portanto como elas não podem ser iguais, vamos propor o seguinte:

x_p (t) = A t e^(- t) cos (t) + B t e^(- t) sin (t)

De onde encontramos:

x_p^' (t) = e^(- t) [A cos (t) - A t cos (t) - A t sin (t)] + e^(- t) [ B sin (t) - B t sin (t) + B t cos (t) ]

E

x_p^(' ') (t) = e^(- t) [2 A t sin (t) - 2 A cos (t) - 2 A sin (t)] + e^(- t) [- 2 B t cos (t) + 2 B cos (t) - 2 B sin (t)]

Substituindo na equação original(EDL) e simplificando:

[2 B cos (t) - 2 A sin (t)] e^(- t) = e^(- t) cos (t)

Relacionando ambos os lados da igualdade:

- 2 A = 0 -> A = 0

2 B = 1 -> B = (1)/(2)

Logo, a solução particular assume a seguinte forma:

x_p (t) = (t)/(2) e^(- t) sin (t)

Resposta

Então, como a solução geral é dada pela soma das soluções homogênea e particular, obtemos o seguinte:

x (t) = C_1 e^(- t) cos (t) + (C_2 + (t)/(2)) e^(- t) sin (t)

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