Determine a solução geral:
(n)
Passo 1
Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.
A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:
Onde, é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.
E é justamente a parte particular da solução.
Passo 2
Seja a seguinte equação auxiliar:
Teremos as seguintes raízes complexas:
Onde
Logo, a solução homogênea terá a seguinte forma:
Passo 3
Agora para encontrarmos , perceba que na EDL:
é uma função exponencial e trigonométrica, de forma que devemos encontrar essas mesmas funções na solução particular; então vamos propor uma solução do tipo:
Repare que essa solução é exatamente igual à homogênea, portanto como elas não podem ser iguais, vamos propor o seguinte:
De onde encontramos:
E
Substituindo na equação original(EDL) e simplificando:
Relacionando ambos os lados da igualdade:
Logo, a solução particular assume a seguinte forma:
Resposta
Então, como a solução geral é dada pela soma das soluções homogênea e particular, obtemos o seguinte: