Determine a solução geral:
(e)
Passo 1
Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.
A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:
Onde, é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.
E é justamente a parte particular da solução.
Passo 2
Para encontrarmos , considere a seguinte equação auxiliar:
Trivialmente podemos encontrar as duas raízes complexas da equação:
Onde
Então:
Passo 3
Agora temos a seguinte EDL, , sabendo que .
Então é de se esperar que a solução particular também seja uma função exponencial e trigonométrica; portanto podemos supor a seguinte solução:
Como essa solução já aparece em , devemos supor a seguinte solução particular:
Onde teremos:
E
Substituindo na equação original e simplificando, teremos:
Relacionando os dois lados da igualdade:
Então a solução particular:
Resposta
Concluimos então que a solução geral da EDL, terá a seguinte forma: