Determine a solução geral:

(e) overset(¨)(x) - 4 overset(˙)(x) + 5 x = e^(2 t) cos t

Passo 1

Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.

A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde, x_h é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.

E x_p é justamente a parte particular da solução.

Passo 2

Para encontrarmos x_h , considere a seguinte equação auxiliar:

m^2 - 4 m + 5 = 0

Trivialmente podemos encontrar as duas raízes complexas da equação:

m_1 = 2 - i e m_2 = 2 + i

Onde a = 2 e b = 1

Então:

x_h (t) = e^(a t) [C_1 cos (b t) + C_2 sin (b t)]

x_h (t) = e^(2 t) [C_1 cos (t) + C_2 sin (t)]

Passo 3

Agora temos a seguinte EDL, overset(¨)(x) - 4 overset(˙)(x) + 5 x = g (t) , sabendo que g (t) = e^(2 t) cos t .

Então é de se esperar que a solução particular também seja uma função exponencial e trigonométrica; portanto podemos supor a seguinte solução:

x_p (t) = A e^(2 t) cos (t) + B e^(2 t) sin (t)

Como essa solução já aparece em x_h , devemos supor a seguinte solução particular:

x_p (t) = A t e^(2 t) cos (t) + B t e^(2 t) sin (t)

Onde teremos:

x_h^' (y) = e^(2 t) cos (t) (A + 2 A t + B t) + e^(2 t) s i n ( t ) ( B + 2 B t - A t )

E

x_p^(' ') (t) = e^(2 t) cos (t) (3 A t + 4 A + 4 B t + 2 B) + e^(2 t) s i n ( t ) ( 4 B + 3 B t - 2 A - 4 A t )

Substituindo na equação original e simplificando, teremos:

2 B e^(2 t) cos (t) - 2 A e^(2 t) sin (t) = e^(2 t) cos (t)

Relacionando os dois lados da igualdade:

A = 0

2 B = 1 -> B = (1)/(2)

Então a solução particular:

x_p (t) = (1)/(2) t e^(2 t) sin (t)

Resposta

Concluimos então que a solução geral da EDL, terá a seguinte forma:

x (t) = e^(2 t) [C_1 cos (t) + C_2 sin (t)] + (1)/(2) t e^(2 t) sin (t)

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