Determine a solução geral:

(f) (d y)/(d x) + y = x + x^2

Passo 1

Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 1º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.

A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular; então temos que a solução geral será:

y (x) = y_h (x) + y_p (x)

Onde, y_h é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.

E y_p é justamente a parte particular da solução.

Passo 2

Supondo a seguinte equação auxiliar:

m + 1 = 0

Trivialmente a raíz da equação será m = - 1

Logo, a solução homogênea:

y (x) = C_1 e^(- x)

Passo 3

Agora, sabendo que a EDL possui a seguinte forma: (d y)/(d x) + y = g ( x ) , com g (x) = x + x^2 polinomial.

Portanto é de se esperar que a solução particular da EDL também seja uma função polinomial; vamos supor então que a solução seja:

y_p (x) = A x^2 + B x + C

Teremos então:

y_p^' (x) = 2 A x + B

Substituindo na equação original:

(2 A x + B) + (A x^2 + B x + C) = x + x^2

A x^2 + (2 A + B) x + (B + C) = x + x^2

Relacionando ambos os lados da igualdade:

A = 1

(2 A + B) = 1 -> B = - 1

(B + C) = 0 -> C = 1

Portanto, a solução particular da EDL será:

y_p (x) = x^2 - x + 1

Resposta

Concluimos então que a solução geral da EDL será dada pela soma das soluções particular e homogênea, então:

y (x) = C_1 e^(- x) + x^2 - x + 1

Ver Outros Exercícios desse livro