Resolva a equação dada:
(b)
Passo 1
Observe que se trata de uma EDL do 2º grau não-homogênea, portanto a solução geral para ela é dada por:
Onde é a parte homogênea da solução, e é a solução particular.
Passo 2
Dessa vez vamos começar encontrando
Então como é uma função exponencial, a solução também deverá ser; logo podemos propor uma solução do tipo:
De onde obtemos:
Substituindo na equação original, encontramos:
Relacionando ambos os lados da igualdade:
E a solução particular nesse caso:
Passo 3
Essa solução particular será válida somente se pois repare que:
Se , teremos então a seguinte equação auxiliar:
E então a solução homogênea :
E neste caso a solução particular teria de ser:
E obteríamos:
Novamente substituindo na EDL, encontramos:
E a solução particular nesse caso, seria:
Resposta
Temos então a seguinte solução geral:
E