Resolva a equação dada:

(b) overset(¨)(x) + alpha x = e^(2 t) , o n d e alpha é u m r e a l d a d o

Passo 1

Observe que se trata de uma EDL do 2º grau não-homogênea, portanto a solução geral para ela é dada por:

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h é a parte homogênea da solução, e x_p é a solução particular.

Passo 2

Dessa vez vamos começar encontrando x_p :

Então como g (t) = e^(2 t) é uma função exponencial, a solução também deverá ser; logo podemos propor uma solução do tipo:

x_p (t) = A e^(2 t)

De onde obtemos:

x_p^' (t) = 2 A e^(2 t) e x_p^(' ') (t) = 4 A e^(2 t)

Substituindo na equação original, encontramos:

[4 A e^(2 t)] - alpha A e^(2 t) = e^(2 t)

Relacionando ambos os lados da igualdade:

A (4 - alpha) = 1 -> A = (1)/(4 - alpha)

E a solução particular nesse caso:

x_p (t) = (1)/(4 - alpha) e^(2 t)

Passo 3

Essa solução particular será válida somente se alpha != - 4 , pois repare que:

Se alpha = - 4 , teremos então a seguinte equação auxiliar:

m^2 - 4 = 0 -> m = +- 2

E então a solução homogênea :

x_h (t) = C_1 e^(2 t) + C_2 e^(- 2 t)

E neste caso a solução particular teria de ser:

x_p (t) = A t e^(2 t)

E obteríamos:

x_p^(' ') (t) = 4 A t e^(2 t) + 4 A e^(2 t)

Novamente substituindo na EDL, encontramos:

4 A = 1 -> A = (1)/(4)

E a solução particular nesse caso, seria:

x_p (t) = (1)/(4) t e^(2 t)

Resposta

Temos então a seguinte solução geral:

x (t) = C_1 e^(2 t) + C_2 e^(- 2 t) + (1)/(4) t e^(2 t) , q u a n d o alpha = - 4

E

x (t) = C_1 e^(m_1 t) + C_2 e^(m_2 t) + (1)/(4 - alpha) e^(2 t) , q u a n d o alpha != - 4

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