1 - Determine uma solução particular

a ) {[[overset(˙)(x) = - y + 2],[overset(˙)(y) = x + 1]])

b ) {[[overset(˙)(x) = y + t],[overset(˙)(y) = x - 2]])

c ) {[[overset(˙)(x) = x - 2 y + e^(2 t)],[overset(˙)(y) = x + y - 3 e^(2 t)]])

d ) {[[overset(˙)(x) = - 2 y],[overset(˙)(y) = - x + 3 cos (t)]])

Passo 1

Em sistema de soluções de EDO’s não homogênea, como sabemos temos que primeiro resolver a homogênea e depois a particular! O sistema homogêneo é:

{[[overset(˙)(x) = y],[overset(˙)(y) = x]])

Como já vimos de montão como resolver homogêneas, vou ser mais rápido aqui, beleza? A matriz de coeficientes é:

A = [[[0,1],[1,0]]]

Então, os autovalores lambda podem ser encontrados por:

det ([[0,-,lambda,1],[1,0,-,lambda]]) = 0 ->

det ([[-,lambda,1],[1,-,lambda]]) = 0 ->

(- lambda)^2 - 1 = 0 ->

lambda^2 = 1 ->

lambda = +- 1

Então...

lambda_1 = - 1 e lambda_2 = 1

Show! As soluções fundamentais então serão assim:

x^((1)) = v_1 e^(lambda_1 t)

x^((2)) = v_2 e^(lambda_2 t)

Quanto a v_1 e v_2 são os autovetores!

Passo 2

BUSCA PELOS AUTOVETORES: Vetor 1.

Os autovetores no caso são calculados assim:

([[-,lambda,1],[1,-,lambda]]) ([[c],[d]]) = 0

Onde c e d são as coordenadas do nosso vetor v_1 . Como lambda_1 = - 1 ...

([[1,1],[1,1]]) ([[c],[d]]) = 0 ->

c + d = 0

Isolando d em função de c :

d = - c

Escolhendo c = 1 , então...

d = - 1

O autovetor v então será:

v_1 = ([[1],[- 1]])

BUSCA PELOS AUTOVETORES: Vetor 2.

([[-,lambda,1],[1,-,lambda]]) ([[c],[d]]) = 0

Onde c e d são as coordenadas do nosso vetor v_2 . Como lambda_2 = 1 ...

([[-,1,1],[1,-,1]]) ([[c],[d]]) = 0 ->

- c + d = 0

Isolando d em função de c :

d = c

Escolhendo c = 1 , então...

d = 1

O autovetor v então será:

v_2 = ([[1],[1]])

Logo, as soluções fundamentais serão...

x^((1)) = ([[1],[- 1]]) e^(- t)

x^((2)) = ([[1],[1]]) e^t

Ou, simplificando...

x^((1)) = ([[e^(- t)],[- e^(- t)]])

x^((2)) = ([[e^t],[e^t]])

Passo 3

Com essas soluções fundamentais encontradas, podemos encontrar a solução da particular X_p sabendo da formulinha marota:

X_p = u_1 x^((1)) + u_2 x^((2))

Onde u_1 e u_2 são encontrados aqui

([[u_1],[u_2]]) = int [[[x^((1)),x^((2))]]]^(- 1) * G (t) d t

E o G (t) é o vetor que torna a coisa toda não homogênea:

{[[overset(˙)(x) = y + t],[overset(˙)(y) = x - 2]]) -> G (t) = ([[t],[- 2]])

Então vamos calcular essa integral aí!

Passo 4

([[u_1],[u_2]]) = int [[[[[e^(- t)],[- e^(- t)]],[[e^t],[e^t]]]]]^(- 1) * ([[t],[- 2]]) d t

Invertendo essa matriz:

[[[[[e^(- t)],[- e^(- t)]],[[e^t],[e^t]]]]]^(- 1) = (1)/(D) [[[[[e^t],[e^(- t)]],[[- e^t],[e^(- t)]]]]]

Onde D é o determinante da matriz original.

D = det [[[[[e^(- t)],[- e^(- t)]],[[e^t],[e^t]]]]] = e^(- t) e^t + e^t e^(- t) =

2

Então...

[[[[[e^(- t)],[- e^(- t)]],[[e^t],[e^t]]]]]^(- 1) = (1)/(2) [[[[[e^t],[e^(- t)]],[[- e^t],[e^(- t)]]]]]

Logo...

([[u_1],[u_2]]) = int [[[[[e^(- t)],[- e^(- t)]],[[e^t],[e^t]]]]]^(- 1) * ([[t],[- 2]]) d t ->

([[u_1],[u_2]]) = (1)/(2) int [[[[[e^t],[e^(- t)]],[[- e^t],[e^(- t)]]]]] * ([[t],[- 2]]) d t ->

([[u_1],[u_2]]) = (1)/(2) int ([[t e^t + 2 e^(- t)],[t e^(- t) - 2 e^(- t)]]) d t ->

Integrando então essa matriz integrando cada um dos termos:

([[u_1],[u_2]]) = (1)/(2) ([[t e^t - e^t - 2 e^(- t)],[- t e^(- t) + e^(- t) + 2 e^(- t)]])

Repare que não há necessidade de se colocar a constante de integração! A solução da particular então será:

X_p = u_1 x^((1)) + u_2 x^((2)) ->

X_p = (1)/(2) (t e^t - e^t - 2 e^(- t)) ([[e^(- t)],[- e^(- t)]]) + (1)/(2) (- t e^(- t) + e^(- t) + 2 e^(- t)) ([[e^t],[e^t]])

([[x_p],[y_p]]) = ([[((1)/(2) (t e^t - e^t - 2 e^(- t)) e^(- t))/(2)],[(- (1)/(2) (t e^t - e^t - 2 e^(- t)) e^(- t))/(2)]]) + ([[((1)/(2) (- t e^(- t) + e^(- t) + 2 e^(- t)) e^t)/(2)],[((1)/(2) (- t e^(- t) + e^(- t) + 2 e^(- t)) e^t)/(2)]]) ->

([[x_p],[y_p]]) = ([[((t - 1 - 2 e^(- 2 t)))/(2)],[((t - 1 - 2 e^(- 2 t)))/(2)]]) + ([[((- t + 1 + 2))/(2)],[((- t + 1 + 2))/(2)]]) ->

([[x_p],[y_p]]) = ([[e^(- 2 t) + 2],[e^(- 2 t) + 2]])

Resposta

([[x_p],[y_p]]) = ([[e^(- 2 t) + 2],[e^(- 2 t) + 2]])

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