Determine uma solução que satisfaça as condições dadas.

n ) d y d x = y 2 - 2 x 2 ,     y 1 = 1

Passo 1

Faremos:

y = u x

E, com isso:

d y d x = 1 x 2 ⋅ d u d x x - u

Assim, substituiremos na equação:

d u d x x - u ⋅ 1 x 2 = u 2 x 2 - 2 x 2

Passo 2

Reorganizando a equação, teremos:

d u d x x - u ⋅ 1 x 2 = u 2 - 2 x 2

Assim, poderemos cortar os x 2 dos denominadores, obtendo:

d u d x x - u = u 2 - 2

Reorganizando a equação, temos que:

d u u 2 + u - 2 = d x x

Passo 3

Agora, integraremos a equação: d u u 2 + u - 2 = d x x

Assim, obtendo:

ln ⁡ x = 1 3 ⋅ ln ⁡ u - 1 - 1 3 ⋅ ln ⁡ u + 2 + c

Reorganizando, temos:

ln ⁡ x = 1 3 ⋅ ln ⁡ ( u - 1 ) ( u + 2 ) + c

Passo 4

Substituindo u = x y , obtemos:

ln ⁡ x = 1 3 ⋅ ln ⁡ ( x y - 1 ) ( x y + 2 ) + c

Aplicando a condição inicial y 1 = 1 , temos que:

e 1 = e 1 3 ⋅ 0 + e c

e c = e 1 , portanto, c = 1

Passo 5

Reescrevendo a equação, temos que:

ln ⁡ x = 1 3 ⋅ ln ⁡ ( x y - 1 ) ( x y + 2 ) + 1

Reescrevendo e aplicando propriedades logarítmicas:

x 3 = x y - 1 x y + 2 + e 3

x 3 ⋅ x y + 2 = x y - 1 + e 3

Passo 6

Aplicando a distributiva e organizando, temos que:

x 4 y + 2 x 3 = x y - 1 + e 3

Isolando y , temos que:

y x 4 - x = e 3 - 1 - 2 x 3

Assim,

y = e 3 - 1 - 2 x 3 x 4 - x

Resposta

A solução da equação é dada por:

y = e 3 - 1 - 2 x 3 x 4 - x

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