Determine uma solução que satisfaça as condições dadas.

i ) d p d θ + ( sec ⁡ θ ) ⋅ p = 1 - sin ⁡ θ ,     p = 3   p a r a   θ = 0

Passo 1

Uma equação diferencial linear se caracteriza por:

d y d x + p x ⋅ y = f ( x )

Onde, nesse caso,

d y d x = d p d θ ˙ ,     p x = sec ⁡ θ ,     f x = 1 - sin ⁡ θ

Ou seja, essa equação é classificada como uma equação diferencial linear.

Passo 2

Para resolver uma equação diferencial linear precisamos encontrar o fator integrante, que é:

I = e ∫ p x

Ou seja,

I = e ∫ s e c θ d θ

Resolvendo,

I = sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

Passo 3

Com o valor do fator integrante, multiplicaremos toda a equação por ele, tendo assim:

( sec ⁡ θ + tan ⁡ θ ) ⋅ d p d θ + ( sec ⁡ θ + tan ⁡ θ ) ( sec ⁡ θ ) ⋅ p = 1 - sin ⁡ θ ⋅ ( sec ⁡ θ + tan ⁡ θ )

Nesse caso, simplificaremos para:

d d θ ( p ⋅ ( sec ⁡ θ + tan ⁡ θ ) ) = 1 - sin ⁡ θ ⋅ ( sec ⁡ θ + tan ⁡ θ )

Passo 4

No lado direito da equação, temos que:

1 - sin ⁡ θ ⋅ ( sec ⁡ θ + tan ⁡ θ )

Onde:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ   ,     tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Reescrevendo:

( 1 - sin ⁡ θ ) ⋅ 1 cos ⁡ θ + sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Ou seja:

1 cos ⁡ θ + sin ⁡ θ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ cos ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 5

Agora, simplificaremos a equação:

1 cos ⁡ θ ⋅ ( 1 - sin 2 ⁡ θ )

Onde,

1 - sin 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ

Passo 6

Agora, reescrevendo toda a equação, temos que:

d d θ ( p ⋅ ( sec ⁡ θ + tan ⁡ θ ) ) = cos ⁡ θ

Fazendo a integração:

p ⋅ ( sec ⁡ θ + tan ⁡ θ ) = sin ⁡ θ + c

Passo 7

Passando sec ⁡ θ + tan ⁡ θ dividindo para o outro lado, teremos que:

p = sin ⁡ θ + c sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

Substituindo a condição inicial para encontrar p:

3 = sin ⁡ 0 + c sec ⁡ 0 + tan ⁡ 0

Logo, c = 3

Passo 8

Substituindo na equação e rearranjando, temos que:

p = 3 + sin ⁡ θ ( sec ⁡ θ + tan ⁡ θ )

Resposta

A solução da equação é dada por:

p = 3 + sin ⁡ θ ( sec ⁡ θ + tan ⁡ θ )

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