1. Verifique que
  2. y ' = x y ' - y 1 + y ' 2

    É uma equação Clairaut.

  3. Determine uma família de solução satisfazendo a condição y ' < 0 .

(Restrinja-se a x > 0 .)

Passo 1

Letra a)

Sendo ψ ( u ) uma função de uma variável definida num intervalo. Toda equação do tipo

y = x y ' + ψ ( y ' )

Denomina-se equação de Clairaut.

Então, rearranjando a equação dada:

y ' = x y ' - y 1 + y ' 2

y ' 1 + y ' 2 = x y ' - y

y = x y ' - y ' 1 + y ' 2

A   E q u a ç ã o   é   u m a   E q u a ç ã o   d e   C l a i r o u t !

Passo 2

Letra b)

Primeiro derivaremos a equação de Clairaut em relação a x :

y ' = y ' + x y ' ' - y ' ' ( 1 + y ' 2 ) 1 + y ' 2

y ' ' x - 1 1 + y ' 2 1 + y ' 2 = 0

Passo 3

Tomando:

y ' ' = 0

y = A x + B

Substituindo na equação de Clairaut:

A x + B = x A - A 1 + A 2

B = - A 1 + A 2

Então:

y = A x - A 1 + A 2

É solução! ( y ' < 0 )

Passo 4

Agora, tomando a equação:

y ' ' x - 1 1 + y ' 2 1 + y ' 2 = 0

x - 1 1 + y ' 2 1 + y ' 2 = 0

Isolando y ' :

y ' = - 1 x 2 3 - 1

d y d x = - 1 x 2 3 - 1

d y = - 1 x 2 3 - 1   d x

∫ d y = - ∫ 1 x 2 3 - 1   d x

Integrando, obtemos:

y = 1 - x 2 3 3 2

Resposta

y = A x - A 1 + A 2   e   y = 1 - x 2 3 3 2

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