Um objeto aquecido a 80 ° C é colocado em um quarto a uma temperatura ambiente de 10 ° C ; um minuto após a temperatura do objeto passa a 70 ° C . Admitindo ( l e i   d e   r e s f r i a m e n t o   d e   N e w t o n ) que a temperatura T = T ( t ) do objeto esteja variando a uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do quarto, isto é

d T d t = α ( T - 10 )

Determine a temperatura do objeto no instante t . S u p o n h a   t   d a d o   e m   m i n u t o s ; α   é   a   c o n s t a n t e   d e   p r o p o r c i o n a l i d a d e .

Passo 1

Utilizando a L e i   d e   R e s f r i a m e n t o   d e   N e w t o n :

A EDO dada é:

d T d t = α ( T - 10 )

Como essa EDO é separável, temos:

d T T - 10 = α d t

∫ d T T - 10 = α ∫ d t

Integrando:

ln ⁡ ( T - 10 ) = α t

Aplicando exponencial:

T - 10 = e α t + c

T = 10 + c e α t

Passo 2

Aplicando as condições impostas:

T 0 = 10 + c e α 0 = 80

c = 70

T 1 = 10 + 70 e α ⋅ 1 = 70

e α = 60 70 = 6 7

α = ln ⁡ 6 7

Desse modo:

T ( t ) = 10 + 70 e t ⋅ ln ⁡ 6 7

T t = 10 + 70 6 7 t  

Resposta

T t = 10 + 70 6 7 t

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