Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas. Determine a trajetória da solução encontrada.

(d) x ˙ = - x y ˙ = - 3 y     e     x 0 = 1 y 0 = 1

Passo 1

Temos um sistema de duas equações diferenciais lineares de 1º ordem, homogêneas com coeficientes constantes.

Lembre-se de que, para uma dada EDL do tipo:

d u d v + α u = 0

A solução geral será:

u v = C e - α v ,   s e n d o   α = c o n s t a n t e   R e a l

Passo 2

Sabendo disso, perceba que no sistema temos:

x ˙ + x = 0 y ˙ + 3 y = 0

Então, podemos obter trivialmente a solução geral para cada EDL:

x t = C 1 e - t

E

y t = C 2 e - 3 t

Portanto uma possível solução geral para o sistema será:

x t = C 1 e - t y t = C 2 e - 3 t

Passo 3

Agora, não esquecendo que temos as condições iniciais, teremos:

x 0 = C 1 e 0 = 1 y 0 = C 2 e - 0 = 1

Trivialmente, C 1 = C 2 = 1

Logo, a solução para a EDL dada será:

x t = e - t y t = e - 3 t

Obs: uma outra forma de representar essa solução, é usando matrizes:

x y = 1 0 e - t + 0 1 e - 3 t

Repare que se “abrirmos” essa expressão:

x t = 1 e - t + 0 e - 3 t y t = 0   e - t + 1 e - 3 t

Resposta

Com isso concluímos que a solução para o sistema assumirá a seguinte forma:

x t = e - t y t = e - 3 t

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