11. Determine para que as soluções do sistema
Sejam periódicas. Qual o período?
Passo 1
Aqui, sempre é bom começarmos nos perguntando: qual a condição de periodicidade?
Ela vai ser periódica quando apenas sobrar seno e cosseno na história, não é verdade?
Ouvi seno e cosseno como resposta de EDO? ORA! Os Autovalores então da matriz de coeficiente :
devem ser complexo e puramente complexo (ou seja, sem a parte real para que só exista seno e cosseno sem aquela exponencial chata grudado neles, saca?). Então, vamos calcular os autovalores dessa matriz!
Passo 2
Os autovalores podem ser encontrados por:
Então, repare que para termos puramente complexo, o que está dentro da raiz deve ser menor que (negativo):
Show!
Passo 3
As soluções fundamentais então terão essa cara aqui:
Onde e são os autovetores (parte real dele e complexa) que não nos interessa muito aqui. O que nos interessa mesmo é o período que está relacionado com esse assim:
E , nada mais é do que a parte imaginária de . Como é maior que :
O que é raiz de menos 1? SIM! O número :
Logo, a parte imaginária desse número complexo é , então...
E esse é o período das respostas periódicas, saca? Nos vemos na próxima então ;)