11. Determine a para que as soluções do sistema

  x ˙ = x + a y   y ˙ = - x - y

Sejam periódicas. Qual o período?

Passo 1

Aqui, sempre é bom começarmos nos perguntando: qual a condição de periodicidade?

Ela vai ser periódica quando apenas sobrar seno e cosseno na história, não é verdade?

Ouvi seno e cosseno como resposta de EDO? ORA! Os Autovalores então da matriz de coeficiente A :

A = 1 a - 1 - 1

λ devem ser complexo e puramente complexo (ou seja, sem a parte real para que só exista seno e cosseno sem aquela exponencial chata grudado neles, saca?). Então, vamos calcular os autovalores dessa matriz!

Passo 2

Os autovalores λ podem ser encontrados por:

det ⁡ 1 - λ a - 1 - 1 - λ = 0     →

det ⁡ 1 - λ a - 1 - 1 - λ = 0     →

1 - λ - 1 - λ + a =     →

- λ 2 - 1 + a =     →

λ 2 = 1 - a     →

λ = ± 1 - a    

Então, repare que para termos λ puramente complexo, o que está dentro da raiz deve ser menor que 0 (negativo):

1 - a < 0   →

a > 1

Show!

Passo 3

As soluções fundamentais então terão essa cara aqui:

x 1 = α → cos ⁡ b t - β → sin ⁡ b t

x 2 = α → sin ⁡ b t + β → cos ⁡ b t

Onde α e β são os autovetores (parte real dele e complexa) que não nos interessa muito aqui. O que nos interessa mesmo é o período P que está relacionado com esse b assim:

P = 2 π b

E b , nada mais é do que a parte imaginária de λ . Como a é maior que 1 :

λ = ± 1 - a     →

λ = ± a - 1 - 1     →

λ = ± a - 1 - 1     →

O que é raiz de menos 1? SIM! O número i :

λ = ± a - 1 i    

Logo, a parte imaginária desse número complexo é b = a - 1 , então...

P = 2 π a - 1

E esse é o período das respostas periódicas, saca? Nos vemos na próxima então ;)

Resposta

P = 2 π a - 1

Ver Outros Exercícios desse livro