Seja

a_n = (3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ (2n + 1)) / (2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ (2n)) ⋅ (1 / raiz(n))

Mostre que

a_n ≥ e^(1/2 [1 + 1/2 + … + 1/n - ln(n)] - 1/8 [1 + 1/(2^2) + … + 1/n^2])

Passo 1

No item (a), provamos que a_n é descrescente, isto é,

a_n + 1 <= a_n

Vamos reescrever a sequência de forma conveniente:

a_n = (3)/(2) * (5)/(4) * (7)/(6) * ... * ((2 n + 1)/(2 n)) * (1)/(sqrt(n))

Mas note que podemos escrever ainda

a_n = (1 + (1)/(2)) (1 + (1)/(4)) (1 + (1)/(6)) ... (1 + (1)/(2 n)) * (1)/(sqrt(n))

Tomando o logaritmo dos dois lados:

ln a_n = ln ((1 + (1)/(2)) (1 + (1)/(4)) (1 + (1)/(6)) ... (1 + (1)/(2 n)) * (1)/(sqrt(n)))

Aplicando a propriedade ln (a b) = ln a + ln b :

ln a_n = ln (1 + (1)/(2)) + ln (1 + (1)/(4)) + ... + ln (1 + (1)/(2 n)) + ln ((1)/(sqrt(n)))

Mas note que

ln ((1)/(sqrt(n))) = ln n^(- 1 // 2) = - (1)/(2) ln n

Portanto,

ln a_n = ln (1 + (1)/(2)) + ln (1 + (1)/(4)) + ... + ln (1 + (1)/(2 n)) - (1)/(2) ln n

Passo 2

Agora vamos olhar para a sugestão do enunciado:

ln (1 + x) > x - (x^2)/(2) , x > 0

Assim,

ln (1 + (1)/(2)) > (1)/(2) - (1)/(8)

ln (1 + (1)/(4)) = (1)/(4) - (1)/(8 * 2^2)

ln (1 + (1)/(2 n)) = (1)/(2 n) - (1)/(8 n^2)

Assim,

ln a_n > (1)/(2) - (1)/(8) + (1)/(4) - (1)/(8 * 2^2) + (1)/(6) - (1)/(8 * 3^2) + ... + (1)/(2 n) - (1)/(8 n^2) - (1)/(2) ln n

Agrupando os termos:

ln a_n > (1)/(2) (1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(n) - ln n) - (1)/(8) (1 + (1)/(2^2) + (1)/(3^2) + ... + (1)/(n^2))

Como o logaritmo é uma função crescente, podemos inverter a função e escrever

a_n > e^((1)/(2) (1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(n) - ln n) - (1)/(8) (1 + (1)/(2^2) + (1)/(3^2) + ... + (1)/(n^2)))

Resolvemos o problema!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro