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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 27

Durante os 40 segundos iniciais de voo, um foguete é disparado diretamente para cima, de forma que a altura atingida em t segundos é de s = 0,3 t 3 ft.

  1. Qual é a altura atingida em 40 s?
  2. Qual é a velocidade média do foguete durante os primeiros 40 s?
  3. Qual é a velocidade média do foguete durante os primeiros 135 m de voo?
  4. Qual é a velocidade instantânea ao fim dos 40 segundos?

Passo 1

  1. Para saber a altura atingida em 40 s precisamos substituir esse valor de tempo na expressão:

    2. s = f t = 0,3 t 3

    Assim vamos ter:

    f 40 = 0,3 ⋅ 40 3 = 0,3 ⋅ 64000 = 19200   m

    Passo 2

  2. Vamos achar a velocidade média durante os primeiros 40 s da seguinte forma:

    3. m = f x 2 - f x 1 x 2 - x 1

    Onde x 1 = 0 e x 2 = 40 , vamos então achar os f dos pontos:

    f 0 = 0,3 ⋅ 0 3 = 0

    f 40 = 19200

    Substituindo:

    m = v m e d = f x 2 - f x 1 x 2 - x 1 = 19200 - 0 40 - 0 = 480   m / s

    Passo 3

  3. Para achar a velocidade média do foguete durante os primeiros 135 m de voo vamos primeiro achar o tempo correspondente a essa distância, mas primeiro vamos converter para pés:

    4. 1 metro corresponde a 3,28048 pés, assim:

    135 m = 443 pés

    Agora vamos substituir:

    f t = 0,3 t 3 → 443 = 0,3 t 3 → t = 11,39   s

    Agora vamos achar a velocidade média, que é a distância sobre o tempo:

    v m e d = ∆ s ∆ t = 443 11,39 = 38,89   f t / s

    Passo 4

  4. A velocidade instantânea no fim dos 40 s é dada por:

v i n s t = lim h → 0 ⁡ f 40 + h - f 40 h

Vamos substituir f 40 + h e f 40 e calcular o limite:

v i n s t = lim h → 0 ⁡ f 40 + h - f 40 h = lim h → 0 ⁡ 0,3 40 + h 3 - 19200 h =

= lim h → 0 ⁡ 0,3 40 3 + 3 ⋅ 40 2 ⋅ h + 3 ⋅ 40 ⋅ h 2 + h 3 - 19200 h =

= lim h → 0 ⁡ 0,3 64000 + 4800 h + 120 h 2 + h 3 - 19200 h =

= lim h → 0 ⁡ 19200 + 1440 h + 36 h 2 + 0,3 h 3 - 19200 h = lim h → 0 ⁡ 1440 h + 36 h 2 + 0,3 h 3 h =

= lim h → 0 ⁡ 1440 + 36 h + 0,3 h 2 = 1440 + 36 ⋅ 0 + 0,3 ⋅ 0 2 = 1440   f t / s

Resposta

  1. 19200   m
  2. v m e d = 480   m / s
  3. v m e d = 38,89   f t / s
  4. v i n s t = 1440   f t / s
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