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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 53

Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem.

w = u 2 + v 2

Passo 1

Nessa questão, teremos de calcular derivadas parciais de segunda ordem. O raciocínio é o mesmo que possuímos para derivada de primeira ordem. A diferença está no fato de derivarmos uma função que já é derivada de uma anterior.

Passo 2

Seja a função: ω = u ² + v ²

Para obter   ω u u temos de obter, primeiro,   ω u e, em seguida, derivar novamente em relação a u . Nesse caso, estamos considerando v constante em ambas as derivações.

  •   ω u =   1 2 u ² + v ² .   2 u = u u ² + v ²
  •   ω u u = 1 . u ² + v ² - u u u ² + v ² ( u 2 + v 2 ) ² = u 2 + v 2 2 - u ² u ² + v ² ( u 2 + v 2 ) ² = v ² ( u ² + v ² )   3 2

Passo 3

Para obter   ω v v , temos de obter, primeiro,   ω v e, em seguida, derivar novamente em relação a v. Nesse caso, estamos considerando u constante em ambas as derivações.

  • Por uma questão de ‘simetria’ na função, teremos:   ω v v = u ² ( u ² + v ² )     3 2

    • Passo 4

    Para obter   ω u v ·, temos de obter, primeiro,   ω u e, em seguida, derivar em relação a v . Nesse caso, estamos considerando v constante primeiro e, depois, u constante. Atenção a essa ordem na representação.

  •   ω u =   1 2 u 2 + v 2 .   2 u = u u 2 + v 2
  •   ω u v =   -   u v u 2 + v 2 3 2

  • Como   ω u v é uma função contínua (toda função raiz é contínua), pelo Teorema de Clairaut, podemos afirmar que   ω u v =   ω v u

    • Resposta

  •   ω u v =   ω v u =   -   u v u 2 + v 2 3 2
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