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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 43

Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide z = 2 + x 2 + y - 2 2 e pelos planos z = 1 , x = 1 , x = - 1 , y = 0   e   y = 4 .

Passo 1

Faala, pessoal!

Essa questão pede o volume de um sólido limitado por um monte de superfícies! Então vamos ver com calma!

O volume do sólido vai ser a integral dupla de uma função f ( x , y ) sobre uma região de integração R (que faz parte do plano x y ):

V = ∬ R f x , y d A

Pra gente calcular isso vamos primeiro encontrar quem são f ( x , y ) e R , montar a integral que representa o volume e depois calcular.

Passo 2

A região de integração é definida pelos planos:

x = 1 , x = - 1 , y = 0 , y = 4

Então:

R = x , y - 1 ≤ x ≤ 1   e   0 ≤ y ≤ 4 }

Já a função f x , y vai ser definida por:

z = 2 + x 2 + y - 2 2 ,   z = 1

⇒ f x , y = 2 + x 2 + y - 2 2 - 1

f x , y = 1 + x 2 + y - 2 2

Assim:

V = ∬ R 1 + x 2 + y - 2 2 d A = ∫ 0 4 ∫ - 1 1 1 + x 2 + y - 2 2   d x d y

Beleza, vamos integrar isso aí então.

Passo 3

Vamos começar integrando em função de x (considerando y constante):

V = ∫ 0 4 ∫ - 1 1 1 + x 2 + y - 2 2   d x d y =

= ∫ 0 4 x + x 3 3 + x y - 2 2 - 1 1 d y =

= ∫ 0 4 1 + 1 3 + y - 2 2 - - 1 - 1 3 - y - 2 2   d y =

= ∫ 0 4 8 3 + 2 y - 2 2 d y - ∫ 0 4 2   d y

Show! Agora é só integrar em y !

Passo 4

Vamos desenvolver esse produto primeiro...

V = ∫ 0 4 8 3 + 2 y 2 - 4 y + 4 d y   =

= ∫ 0 4 8 3 + 2 y 2 - 8 y + 8   d y =

Integrando agora...

= 8 3 y + 2 y 3 3 - 4 y 2 + 8 y 0 4 =

= 32 3 + 128 3 - 64 + 32

⇒ V = 64 3

Esse é o volume procurado!!

Resposta

64 3

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Determine a área da superfície.A parte da superfície z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Determine a área da superfície.A parte do plano z = 2 + 3 x + 4 y que está acima do retângulo 0,5 × 1,4 .
Determine a área da superfície.A parte do paraboloide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .
Determine a área da superfície.A parte do plano 2 x + 5 y + z = 10 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 9 .
Determine a área da superfície.A parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 que está no primeiro octante.