Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.2 - Ex. 59
Uma equação diferencial da forma , pode sempre ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição . Use este procedimento para resolver os Problemas 57-62.
59.
Passo 1
Então pessoal, aqui o objetivo é resolvermos a equação diferencial dada utilizando a substituição indicada pelo enunciado, tudo bem? Sendo assim, vamos aplicar a ideia para ver o que surge! A equação que nos foi dada é:
Fazendo a seguinte substituição:
Teremos:
Substituindo o que encontramos na nossa equação diferencial, teremos:
Isolando as variáveis:
Lembrando que , podemos fazer:
Show!
Passo 2
Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:
Para a integral da esquerda precisamos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:
Substituindo, teremos:
E nosso resultado será:
Já para a integral da direita o resultado é bem tranquilo
Top!
Passo 3
Por fim, igualando os resultados:
Juntando com teremos uma terceira constante que vamos chamar de , ok? Logo, nosso resultado será:
Mas note que estamos com um resultado em e queremos um resultado em , certo? Logo, lembrando da substituição que fizemos lá no passo 1, teremos:
E esse é nosso resultado!