Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.2 - Ex. 19
Nos problemas 1-40, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
19.
Passo 1
Então pessoal, de início vale ressaltar que é interessantíssimo ter uma boa base de integração para resolver os problemas de equações diferenciais, tudo bem? Sendo assim, caso você não se lembre muito bem das técnicas de integração, sugiro dar uma revisada antes de iniciar o curso de equações diferenciais, belê? Show!
O exercício quer que a gente resolva a equação diferencial dada utilizando o método de separação de variáveis. Basicamente o que precisamos fazer é deixar tudo que tem de um lado da equação e tudo que tem do outro lado da equação e depois integrar tudo. Pareceu complicado? Bora descomplicar então!
Passo 2
A equação diferencial que nos foi dada é essa aqui:
Isolando as variáveis em cada lado da equação, teremos:
Show! Variáveis devidamente separadas. Simbora para o último passo!
Passo 3
Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:
Simplificando o lado direito, teremos:
Agora que simplificamos, vamos resolver as integrais! Para a integral da esquerda devemos utilizar integração por partes, ok? A substituição que vamos fazer é a seguinte:
Caso você não se lembre, a fórmula da integração por partes é essa:
Substituindo os valores, teremos:
Para resolvermos essa integral basta aplicarmos a propriedade básica de integração, que é:
Aplicando a ideia, teremos como resultado:
Show!
Passo 4
Para a integral da direita podemos fazer o seguinte:
Show! Para a primeira integral basta utilizarmos a propriedade do passo anterior. Já para a terceira integral já temos um resultado bem definido e tabelado, tudo bem? O resultado dessas integrais será:
Por fim, igualando os resultados:
Juntando com teremos uma terceira constante que vamos chamar de , ok? Logo, nosso resultado será:
E essa é a nossa função!