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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.7 - Ex. 42

Esboce as parábolas e elipses nos Exercícios 37-44. Inclua a diretriz correspondente ao foco na origem. Rotule os vértices com coordenadas polares apropriadas. Rotule também os centros das elipses.

r = 12 3 + 3 s e n θ

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será, através da equação polar dada, identificar se a cônica dada é uma parábola ou elipse, determinar qual a sua diretriz e esboçar um belo gráfico contendo a curva, seus vértices e diretriz(es).

Simbora?

Passo 2

Veja que a equação dada, tem o seguinte formato:

r = k e 1 + e   s e n θ  

Basta dividirmos todos os termos por 3, e reescrevendo da seguinte forma:

r = 12 3 3 3 + 3 3 s e n θ = 4 ∙ 1 1 + 1 s e n θ

Comparando as equações, obtemos:

e = 1 ,   k = 4

Ainda observando a equação, identificamos o sinal positivo no denominador e a função seno o que significa que a diretriz é na direção horizontal e pode ser descrita por y = k .

Temos, assim:

Excentricidade: e = 1 o que indica uma parábola.

Diretriz: y = 4

Veja ainda, que para θ = π 2 , temos:

r = 12 3 + 3 s e n π 2 = 12 3 + 3 ∙ 1 = 12 3 + 3 = 2

Portanto o vértice é: 2 , π 2 .

Passo 3

Agora, traçando a cônica com auxílio de um software e destacando as informações pedidas, obtemos:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Excentricidade: e = 1 . Diretriz: y = 4 . Vértice: 2 , π 2 .

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