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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.2 - Ex. 11

Esboce a solução particular e várias outras soluções. Que características estas soluções têm em comum?

y ' ' + 3 y ' + 2 y = cos ⁡ x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A equação auxiliar da parte homogênea é:

r 2 + 3 r + 2 = 0

Fatorando, temos que:

r + 1 r + 2 = 0

Podemos dizer que as raízes são:

r 1 = - 1

r 2 = - 2

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é da seguinte forma:

y h = c 1 e - x + c 2 e - 2 x

Onde c 1 e c 2 são constantes.

Passo 2

Vamos analisar a parte particular agora. Seja:

G x = cos ⁡ x

Temos que:

y p = A cos ⁡ x + B sen ⁡ x

Derivando y p em relação a x , temos:

y p ' = - A sen ⁡ x + B cos ⁡ x

Derivando novamente, temos que:

y p ' ' = - A cos ⁡ x - B sen ⁡ x

Passo 3

Agora vamos substituir na EDO.

y p ' ' + 3 y p ' + 2 y p = cos ⁡ x

- A cos ⁡ x - B sen ⁡ x + 3 - A sen ⁡ x + B cos ⁡ x + 2 A cos ⁡ x + B sen ⁡ x   = cos ⁡ x

- A + 3 B + 2 A cos ⁡ x + - B - 3 A + 2 B sen ⁡ x = cos ⁡ x

Comparando os coeficientes de termos semelhantes dos dois lados, temos que:

B - 3 A = 0

B = 3 A

A + 3 B = 1

A + 9 A = 1

A = 1 10

B = 3 10

Passo 4

Portanto, a solução particular é y p = 1 10 cos ⁡ x + 3 10 sen ⁡ x .

A solução geral é dada por:

y = y h + y p

Portanto:

y = c 1 e - x + c 2 e - 2 x + 1 10 cos ⁡ x + 3 10 sen ⁡ x

Passo 5

O gráfico com a solução particular e as demais soluções vai se comportar da seguinte maneira:

Notamos que quando x → ∞ todas as soluções convergem para a solução particular.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos problemas 29-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.34. y ' ' - y = cosh ⁡ x ,y 0 = 2 ,y ' 0 = 12