Esboce a solução particular e várias outras soluções. Que características estas soluções têm em comum?

y'' + 4y = e^(-x)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A equação auxiliar da parte homogênea é:

r 2 + 4 = 0

Fatorando, temos que:

r + 2 r - 2 = 0

Podemos dizer que as raízes são:

r 1 = 2

r 2 = - 2

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é da seguinte forma:

y h = c 1 e 2 x + c 2 e - 2 x

Onde c 1 e c 2 são constantes.

Passo 2

Vamos analisar a parte particular agora. Seja:

G x = e - x

Temos que:

y p = A e - x

Derivando y p em relação a x , temos:

y p ' = - A e - x

Derivando novamente, temos que:

y p ' ' = A e - x

Passo 3

Agora vamos substituir na EDO.

y p ' ' + 4 y p = e - x

A e - x + 4 A e - x   = e - x

Comparando os coeficientes de termos semelhantes dos dois lados, temos que:

5 A = 1

A = 1 5

Passo 4

Portanto, a solução particular é y p = 1 5 e - x .

A solução geral é dada por:

y = y h + y p

Portanto:

y = c 1 e 2 x + c 2 e - 2 x + 1 5 e - x

Passo 5

O gráfico com a solução particular e as demais soluções vai se comportar da seguinte maneira:

Observe que todas as soluções com excessão de y p oscilam ao redor de y p e todas as soluções se aproximam de quando x → - ∞ .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine uma solução particular dex¨ + 2γx˙ + ω₀²x = b sen(ωt) onde γ, ω₀, b e ω são constantes não-nulas dadas.
Determine a solução geral.x¨ - 2x˙ = sen(3t)
Determine a solução geral.x¨ + 9x = sen(t) + 2cos(t)
Determine a solução geral.x¨ - 2x˙ = 5
Determine a solução do problemax¨ + 4x = cos(2t), x(0) = 0 e x˙(0) = 0