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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.1 - Ex. 3

  1. Para quais valores de r a função y = e r x satisfaz a equação diferencial 2 y ” + y ' - y = 0
  2. Se r 1   e r 2   são os valores que você encontrou na parte (a), mostre que todo membro da família de funções y = a e r 1 x + b e r 2 x também é uma solução.

Passo 1

Fala aí! Partiu resolver essa questão aí juntos! Na letra a, queremos encontrar os valores de r que fazem com que a função y = e r x seja solução da EDO 2 y ” + y ' - y = 0 …

Bom, pra fazer isso precisaremos derivar a função de y   duas vezes e substituir na equação diferencial, dessa forma poderemos isolar o r e encontrar seus valores, beleza?

Vamos lá!

y = e r x

y ' = r e r x

y " = r 2 e r x

Pronto! Agora já podemos olhar para a equação 2 y ” + y ' - y = 0 e trocar y , y ' e y " pelos valores que acabamos de encontrar. Ficamos com:

2 y ” + y ' - y = 0

2 r 2 e r x + r e r x - e r x = 0

e r x ( 2 r 2 + r - 1 ) = 0

e r x r + 1 ( r - 1 2 ) = 0

Muita calma nessa hora! Precisamos lembrar que uma função exponencial é sempre maior que zero, então e r x > 0 . Portanto, somente a parte r + 1 ( r - 1 2 ) pode ser igual a 0 , ok?

Pensa comigo, para um produto de dois fatores ser igual a 0 uma das parcelas deve ser 0 , e isso quer dizer que r + 1 = 0 ou r - 1 2 = 0 … Agora isolando r nas duas equações, descobrimos que os valores de r que queríamos encontrar são:

r =   - 1 r = 1 2

Show de bola! Resolvemos a letra a!

Passo 2

Para a letra b, precisamos mostrar que todas as funções da forma y = a e r 1 x + b e r 2 x também são soluções para 2 y ” + y ' - y = 0 . Calma aí! Nada de se assustar com a generalização!

A resolução é idêntica ao que fizemos antes. Além disso, para simplificar podemos trocar r 1 por - 1 e r 2 por 1 2 , belezinha?

Agora vamos derivar y :

y = a e - x + b e 1 2 x  

y ' =   - a e - x + b 1 2 e 1 2 x

y " = a e - x +   b 1 4 e 1 2 x

Agora substituindo na EDO:

2 y " + y ' - y = 0

2   .   a e - x + b 1 4 e 1 2 x + - a e - x + b 1 2 e 1 2 x - a e - x + b e 1 2 x = 0

2 a e - x + b 2 e x 2 - a e - x + b 2 e x 2 - a e - x - b e x 2 = 0

2 a e - x + b 2 e x 2 - 2 a e - x + b 2 e x 2 - b e x 2 = 0

b 2 e x 2 + b 2 e x 2 - b e x 2 = 0

2   .   b 2 e x 2 - b e x 2 = 0

b e x 2 - b e x 2 = 0

0 = 0

Conseguimos! Concluímos a demonstração que foi pedida!

Resposta

  1. r =   - 1 ou r = 1 2

  2. Passo 2.
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