Estude a série alternada com relação a convergência e divergência;

A) ∑ n = 1 + ∞ 2 + β 4 + β   …     ( 2 n + β )   2   ∙ 4   ∙ …   ∙   2 n 1 n ∝ , ∝ > 0   e   β > 0

Passo 1

FALA GALERA, BORA LANÇAR A BRABA NESSA QUESTÃO? Vem comigo, que é sucesso. Estudaremos uma série onde a n =   2 + β 4 + β   …     ( 2 n + β )   2   ∙ 4   ∙ …   ∙   2 n 1 n ∝ , ∝ > 0   e   β > 0 , primeiramente, precisaremos calcular o limite da sequência a n e dessa forma estudaremos o seu comportamento (sequências boazinhas ganham presente do Papai Noel) com relação a crescimento ou decrescimento, e para isso, utilizaremos a ajuda do titio critério de Raabe e do titio critério de DeMorgan (Se você não conhece o titio critério Raabe ou DeMorgan, recomendo que faça uma visita nas aulas disponíveis no nosso site, depois volta aqui, continuando...)

Passo 2

Temos que:

a n + 1 a n = 2 n + 2 + β n ∝ 2 n + 2 n + 1 ∝

n 1 - a n + 1 a n = 1 -   2 + ( 2 + β ) m 2 1 + m ∝ + 1 m ,   o n d e   m = 1 n

lim n → ∞ ⁡ n 1 - a n + 1 a n = lim m → 0 + ⁡ 1 -   2 + ( 2 + β ) m 2 1 + m ∝ + 1 m

lim m → 0 + ⁡ 1 -   2 + ( 2 + β ) m 2 1 + m ∝ + 1 m ,   a p l i c a n d o   L ' H o s p i t a l ,   o b t e m o s :

lim m → 0 + ⁡ ( 4 + 2 β ) 1 + m ∝ + 1 -   2 2 + ( 2 + β ) m ∝ + 1 1 + m ∝ 4 1 + m 2 ∝ + 2

β   -   ∝ + 1 2  

Para ∝ < 3 2 e β < 1 2 , lim n → ∞ ⁡ n 1 - a n + 1 a n < 0 e, portanto, lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 (Exercício 8, seção 3.5) e, portanto, a série é divergente.

Para ∝ > 3 2 e β > 1 2 , lim n → ∞ ⁡ n 1 - a n + 1 a n > 0 e, portanto, lim n → ∞ ⁡ a n = 0 (Exercício 7, seção 3.5). Logo a série dada será convergente.

Para ∝   = 3 2 e β = 1 2   , a série é divergente, seguindo o critério de DeMorgan.

Resposta

Para ∝ < 3 2 e β < 1 2 a série é divergente.

Para ∝ > 3 2 e β > 1 2 a série é convergente.

Para ∝   = 3 2 e β = 1 2   a série é divergente.

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