Para todo a > 0 , o gráfico y = f ( x ) intercepta ortogonalmente a curva x y = a ,   x > 0 . Determine f sabendo que f 2 = 3 .

Passo 1

Meus fofos, sem muita enrolação, vamos lá:

Inicialmente, precisamos calcular o coeficiente angular da reta tangente à curva x y = a :

y + x d y d x = 0

d y d x = - y x

Após essa etapa, precisamos lembrar de uma propriedade de álgebra:

Dadas duas retas p e q, ao constatar que as retas se interceptam ortogonalmente, podemos garantir que a seguinte relação a respeito dos respectivos coeficientes angulares é válida:

∝ p ∙ ∝ q = - 1

Então, mãos a obra:

- y x ∙ ∝ q = - 1 ⇒ ∝ q = x y

Sendo d y d x = x y , vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação:

∫ y   d y = ∫ x   d x

y 2 2 = x 2 2 + k

y 2 = x 2 + 2 k

O problema trata-se de um PVI (problema de valor inicial) e diz que: f 2 = 3

f 2 = 3 ⇒ 3 2 = 2 2 + 2 k

2 k = 5

Por fim:

y 2 = x 2 + 5

f x = y = x 2 + 5

Resposta

f x = y = x 2 + 5

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