Estude a série alternada ∑ n = 1 + ∞ - 1 n + 1 3   ∙   5   ∙ …   ∙   ( 2 n + 1 )   2   ∙ 4   ∙ …   ∙   2 n 1 n ∝ com relação a convergência e divergência, onde ∝   > 0 é um real dado. (Sugestão: Para ∝ ≠ 1 2 , utilize Exercícios 7 e 8, e para ∝   = 1 2 utilize Exercício 21 da seção 2.1.)

Passo 1

FALA GALERA, BORA LANÇAR A BRABA NESSA QUESTÃO? Vem comigo, que é sucesso. Estudaremos uma série onde a n =   3   ∙   5   ∙ …   ∙   ( 2 n + 1 )   2   ∙ 4   ∙ …   ∙   2 n 1 n ∝   , ∝ > 0 , primeiramente, precisaremos calcular o limite da sequência a n e dessa forma estudaremos o seu comportamento (sequências boazinhas ganham presente do Papai Noel) com relação a crescimento ou decrescimento, e para isso, utilizaremos a ajuda do titio critério de Raabe (Se você não conhece o titio critério Raabe, recomendo que faça uma visita nas aulas disponíveis no nosso site, depois volta aqui, continuando...)

Passo 2

Temos que:

a n + 1 a n = 2 n + 3 n ∝ 2 n + 2 n + 1 ∝

n 1 - a n + 1 a n = 1 -   2 + 3 x 2 1 + x ∝ + 1 x ,   o n d e   x = 1 n

lim n → ∞ ⁡ n 1 - a n + 1 a n = lim x → 0 + ⁡ 1 -   2 + 3 x 2 1 + x ∝ + 1 x

lim x → 0 + ⁡ 1 -   2 + 3 x 2 1 + x ∝ + 1 x ,   a p l i c a n d o   L ' H o s p i t a l ,   o b t e m o s :

lim x → 0 + ⁡ 6 1 + x ∝ + 1 -   2 2 + 3 x ∝ + 1 1 + x ∝ 4 1 + x 2 ∝ + 2

2 ∝ - 1 2  

Para ∝ < 1 2 ·, lim n → ∞ ⁡ n 1 - a n + 1 a n < 0 e, portanto, lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 (Exercício 8, seção 3.5) e, portanto, a série é divergente.

Para ∝ > 1 2 ·, lim n → ∞ ⁡ n 1 - a n + 1 a n > 0 e, portanto, lim n → ∞ ⁡ a n = 0 (Exercício 7, seção 3.5). Pelo fato deste limite ser estritamente positivo, existirá um n 0 , tal que, para n ≥ n 0 , a n + 1 a n < 1 . Então, para n ≥ n 0 , a sequência a n será decrescente. Logo, para ∝ > 1 2 , a série alternada dada será convergente.

Para ∝   = 1 2 , lim n → ∞ ⁡ a n > 1 (Exercício 21 da seção 2.1), logo, a série é divergente.

Resposta

Para ∝ < 1 2 a série é divergente

Para ∝ > 1 2 a série é convergente

Para ∝ = 1 2 a série é divergente

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