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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 6

Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada.

  1. A região limitada pela parábola x = y 2 - y e pela reta y = x .

Passo 1

As duas funções se encontram em:

y 2 - y = y

A resposta trivial seria y = 0 , mas cortando ela da equação sabendo dessa resposta temos:

y - 1 = 1 → y = 2

Logo nosso intervalo em y está em 0 a 2.

Porém qual função está mais a direita? Vamos testar com y = 1

f 1 = y 2 - y = 1 - 1 = 0

f 1 = x = 1

Logo a função y = x está mais a direita no intervalo de y indo de 0 a 2.

Não é necessário mas vamos plotar o gráfico para essa região:

Passo 2

O comprimento da nossa linha horizontal é:

L = y - y 2 + y = 2 y - y 2

Pois a diferença no eixo x se dá da função da direita menos a da esquerda.

A largura seria d y , logo a área seria:

d A = 2 y - y 2 d y

A massa:

d m = δ 2 y - y 2 d y

O x médio seria:

x m = y + y 2 - y 2 = y 2 2

O y médio:

y m = y

Passo 3

Calculando o valor de M .

M = ∫ 0 2 δ 2 y - y 2 d y → δ 2 y 2 2 - y 3 3 0 2 → δ 4 - 8 3   = 4 δ 3

Calculando M y :

M y = δ ∫ 0 2 y 2 2 2 y - y 2   d y → δ 2 ∫ 0 2 2 y 3 - y 4 d y → δ 2 2 y 4 4 - y 5 5 0 2

M y = δ 4 - 16 5 = 4 5 δ

Calculando M x :

M x = δ ∫ 0 2 y 2 y - y 2 d y → δ ∫ 0 2 2 y 2 - y 3 d y → δ 2 y 3 3 - y 4 4 0 2

M x = δ 16 3 - 4 = 4 3 δ

Passo 4

Calculando x - .

x - = M y M = 4 δ 5 4 δ 3 = 3 5

Calculando y - .

y - = M x M = 4 δ 3 4 δ 3 = 1

Resposta

Centro de massa:

x - , y - = 3 5 , 1

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