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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 31

Nos Exercícios 29-32, determine o centroide da placa fina limitada pelos gráficos das funções dadas. Use as Equações 6 e 7 com δ = 1 e M = área da região coberta pela placa.

31 – g x = x 2 ( x - 1 ) e f x = x 2

Passo 1

Primeiramente vamos descobrir os limites de integração, igualando as duas funções e calculando as suas raízes:

f x = g x ; x 2 = x 3 - x 2

x 3 - 2 x 2 = 0

Utilizando uma calculadora, onteremos as raízes que a única raíz real para x = 0   e   x = 2 .

Assim os limites de integração serão a = 0 ,   b = 2

Passo 2

M =   ∫ 0 2 f x - g x d x = ∫ 0 2 x 2 - x 3 + x 2 d x =   ∫ 0 2 2 x 2 - x 3   d x = 2 x 3 3 - x 4 4 0 2

Aplicando os limites de integração e achando M

M = 2 ⋅ 2 3 3 - 2 4 4 - 0 = 16 3 - 16 4 = 4 3

M = 4 3

Passo 3

Agora descobriremos o centro para coordenada x:

x - = δ 4 / 3 ∫ 0 2 x 2 x 2 - x 3 d x = 3 4 ∫ 0 2 2 x 3 - x 4   d x

x - = 3 4 x 4 2 - x 5 5 0 2

Resolvendo os limites de integração:

x - = 3 4 2 4 2 - 2 5 5

x - = 3 4 8 - 32 5 = 6 / 5  

Passo 4

y - = δ M ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2   d x

y - = 3 4 ∫ 0 2 1 2 ( x 2 ) 2 - x 2 ( x - 1 ) 2   d x

y - = 3 8 ∫ 0 1 2 x 5 - 2 x 6 d x = 3 8 2 x 6 6 - 2 x 7 7 0 2

Resolvendo os limites de integração:

y - = 3 8 2 6 3 - 2 ⋅ 2 7 7 = 8 7

Passo 5

Desta forma o centro da massa será : x - , y - = 6 5 , 8 7

Resposta

x - , y - = 6 5 , 8 7

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