Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.1 - Ex. 41
41. Os extremos do latus rectum de uma parábola são e . Se o vértice da parábola está na origem e ela se abre para baixo, ache (a) o valor de k; (b) a equação da parábola.
Passo 1
Primeiro vamos começar com o item (a), pois precisaremos de informações obtidas nele para achar o que o item (b) pede.
Para resolver esse problema, precisamos entender o que é o latus rectum. Ele é um seguimento de reta que tem o foco como ponto médio, e ele vai de uma extremidade a outra da parábola, como a figura mostra a seguir:
Então podemos perceber que k, no nosso caso é uma das coordenadas do foco (no caso a y). Para acharmos k, precisamos achar o valor de p primeiro, mas por quê?
Porque sabemos que a distância do vértice até o foco vale p e como eles estão no mesmo eixo coordenado y (pois o vértice está na origem e a parábola aponta pra baixo) a coordenada x é a mesma, já a coordenada y vai ter a diferença de p.
Passo 2
Sabemos que o valor absoluto do latus rectum tem como valor igual a , usando o que o enunciado nos deu o comprimento dele é:
Assim, agora sabemos que a diferença das coordenadas y do vértice e do foco estão a uma distância 5/2 uma da outra. Como a parábola aponta para baixo, temos:
Assim:
Como foi explicado no passo 1, o valor de k é o mesmo da coordenada y do foco, assim:
Passo 3
Agora para achar a equação da parábola pedida no item (b), vamos atentar a uma coisa.
Como o enunciado diz, a parábola se abre para baixo, então ela tem equação do tipo:
Agora precisamos achar os valores de h, p e k para a situação que temos.
Passo 4
Achar h e k é fácil, eles representam as coordenadas do vértice.
O h representa a coordenada x do vértice e k a coordenada y, logo:
O valor de p já achamos para resolver o item (a) e encontramos:
Passo 5
Agora colocando tudo que encontramos na equação ela toma a seguinte forma:
Resposta
- O valor de é
- A equação da parábola é: