Enunciado

Faça o gráfico da curva y = s e n^(- 1) ((1)/(x))

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = s e n^(- 1) ((1)/(x))

Observe que o domínio de s e n^(- 1) ( x ) corresponde somente ao intervalo - 1 <= x <= 1 . Como o argumento de f ( x ) é igual a (1)/(x) e além disso temos uma composição de funções teremos que

- 1 <= (1)/(x) <= 1

Analisando separadamente e considerando x > 0 ,

- 1 <= (1)/(x) => x <= - 1

Ou,

(1)/(x) <= 1 => x >= 1

Sendo assim, o domínio de f ( x ) corresponde ao intervalo (- oo , - 1) uu ( 1 , oo ) , ou seja, a união desses dois intervalos. Sendo assim, o gráfico de f ( x ) é definida para todo x fora do intervalo de - 1 <= x <= 1 .

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f (x) possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x . No entanto se nos lembrarmos bem, a função s e n^(- 1) ( x ) só corta toca o eixo x em x = 0 , porém, esse ponto não pertence ao domínio da f . Sendo assim, f ( x ) não toca o eixo x .

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f^(' ') ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra da cadeia teremos,

f^' (x) = (1)/(sqrt(1 - ((1)/(x))^2)) . (- (1)/(x)) = - (1)/(sqrt((x^2 - 1)/(x^2))) . (1)/(x) = - (1)/((x sqrt(x^2 - 1))/(x)) = - (1)/(sqrt(x^2 - 1)) = - (1)/((x^2 - 1)^((1)/(2)))

Calculando a segunda derivada utilizando a regra do quociente,

f^(' ') (x) = - (- 1 . (1)/(2) (x^2 - 1)^(- (1)/(2)) ( 2 x ))/(((x^2 - 1)^((1)/(2)))^2)

= - (- (x^2 - 1)^(- (1)/(2)) x)/((x^2 - 1)^1)

= ((x^2 - 1)^(- (1)/(2)) x)/((x^2 - 1)^1)

= (x)/((x^2 - 1)^1 (x^2 - 1)^((1)/(2)))

= (x)/((x^2 - 1)^((3)/(2)))

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de críticos temos que

f^' (x) = - (1)/((x^2 - 1)^((1)/(2))) = 0

Perceba que não é possível encontrar um valor de x de modo que a igualdade acima seja satisfeita. Sendo assim, não encontramos nenhum candidato à ponto crítico no domínio de f ' ( x ) , consequentemente f ( x ) não terá nenhum ponto em que assuma um máximo ou um mínimo.

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^(' ') (x) = (x)/((x^2 - 1)^((3)/(2))) = 0 => x = 0

Porém x = 0 não pertence ao domínio de f ( x ) , sendo assim, f ' ' ( x ) não possui pontos de inflexão. Consequentemente f (x) não possui mudança de concavidade.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

underset(x -> +- oo)(lim) f (x) = underset(x -> +- oo)(lim) s e n^(- 1) ((1)/(x)) = s e n^(- 1) (underset(x -> +- oo)(l i m) (1)/(x)) = s e n^(- 1) (0) = 0

Logo, f (x) possui uma assíntota horizontal em f (x) = 0 .

No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto c no domínio de f (x) que faça com que

underset(x -> - c)(lim) f (x) = underset(x -> c)(l i m) f (x) = +- oo

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)
Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)
Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)
Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)
Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)