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Exercícios de Esboço de Gráfico - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

Considere

f x = - x e x                       ,       s e   x ≤ 0 x ln ⁡ x               ,       s e   x > 0

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .

c Determine os pontos críticos de f .

d Em quais intervalos f é crescente?

e Em quais intervalos f é decrescente?

f Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

g Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

h Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

j Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

k Utilizando as informações obtidas abaixo nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f .

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Questão 2

Considere a função:

f x = x x 2 - 1 3

Cujas derivadas primeira e segunda são, respectivamente:

f ' x = x 2 - 3 3 x 2 - 1 4 3

f ' ' x = 2 x ( 9 - x 2 ) 9 x 2 - 1 7 3

  1. O domínio da função;
  2. As assíntotas horizontais e verticais, caso existam;
  3. Os intervalos onde a função é crescente e decrescente;
  4. Os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam;
  5. Os intervalos onde a concavidade é para cima, onde é para baixo e os pontos de inflexão;
  6. Utilizando as informações adquiridas esboce um gráfico de f .

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Questão 3

Considere a função:

f x = x 3 e x

Cujas derivadas primeira e segunda são, respectivamente:

f ' x = 3 x - 2 x 2 2 e x x

f ' ' x = 4 x 3 - 12 x 2 + 3 x 4 x e x x

  1. O domínio da função;
  2. As assíntotas horizontais e verticais, caso existam;
  3. Os intervalos onde a função é crescente e decrescente;
  4. Os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam;
  5. Os intervalos onde a concavidade é para cima, onde é para baixo e os pontos de inflexão;
  6. Utilizando as informações adquiridas esboce um gráfico de f .

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Questão 4

Considere a função:

f x = x 2 - 4 x - 12 x + 3

E as suas primeira e segunda derivadas.

f ' x = x 2 + 6 x x + 3 2

f ' ' x = 18 x + 3 3

a) Ache as assíntotas horizontais e verticais caso existam.

b) Identifique os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.

c) Encontre os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam.

d) Identifique os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

e) Usando as informações anteriores faça um esboço do gráfico de y = f ( x ) .

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Questão 5

Considere a função y = f x = x e - x . Determine:

( a ) O domínio de f ;

( b ) Os interceptos;

( c ) As simetrias de f ;

( d ) As assíntotas;

( e ) Intervalos de crescimento e decrescimento;

( f ) Valores máximos e mínimos locais;

( g ) Discuta concavidade e dê os pontos de inflexão;

( h ) Use a informação obtida para esboçar o gráfico de f .

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Questão 6

Considere a função f dada por

f x = x 2 x - 1

  1. Encontre, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de f .
  2. Determine os pontos críticos de f , intervalos onde a função é crescente e onde a função é decrescente.
  3. Encontre os extremos relativos e absolutos de f , caso existam.
  4. Determine os intervalos onde o gráfico da função possui concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo.
  5. Esboce o gráfico da função f .

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Questão 7

Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

c )   f x = ln ⁡ ( x )

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Questão 8

Seja f : I R → I R a função dada por:

f x = arctan ⁡ x 2

  1. Determine, caso existam, as equações das assíntotas horizontais do gráfico de f
  2. Determine, caso existam, os intervalos onde f é crescente
  3. Esboce o gráfico de f . Marque em seu desenho as assíntotas horizontais e as abscissas dos pontos de máximo local e de mínimo local do gráfico de f , caso existam.
  4. O gráfico de f tem ponto de inflexão? Justique sua resposta.

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Questão 9

Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

g )   f x = arccos ⁡ ( x ) ,   x ∈ ( - 1,1 )

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Questão 10

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x x 2 - 9

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Questão 11

Use o roteiro a seguir para esboçar o gráfico

  • Dê o domínio de f
  • Estude os intervalos onde f é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos
  • Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem
  • Estude a concavidade, destacando os pontos de inflexão
  • Encontre as assíntotas horizontais ou verticais, se existirem
  • Esboce o gráfico

y = x - ln ⁡ x

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Questão 12

4. Esboce o gráfico da função y = f x = x - 2 e - x , indicando:

  1. Interseções com os eixos coordenados;
  2. Regiões de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais;
  3. Regiões de concavidade para baixo e para cima e pontos de inflexão;
  4. Comportamento no infinito e assíntotas;
  5. Máximo e mínimo absoluto.

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Questão 13

Esboce o gráfico de f x = x 2 - 4 x - 1 2 , determinando o seu domínio, os intervalos de crescimento e decrescimento, a concavidade e calculando todos os limites necessários.

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Questão 14

Esboce o gráfico de f x = x 3 e - x , determinando o seu domínio, os intervalos de crescimento e de decrescimento, concavidades e assíntotas (caso existam).

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Questão 15

Considere

f x = x 3 + 3 x 2 s e x ≤ 0 sen ⁡ x - x s e 0 < x < 2 π

  1. f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?
  2. Calcule lim x → 2 π ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x
  3. Determine os pontos críticos de f .
  4. Em quais intervalos f é crescente?
  5. Em quais intervalos f é decrescente
  6. Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .
  7. Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .
  8. Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?
  9. Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?
  10. Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .
  11. Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f .

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Questão 16

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x 3 + 6 x 2 + 9 x

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Questão 17

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Questão 18

A função f   ( x ) = s e n   ( x + s e n   ( x   ) ) ,   0 < x < π , aparece em aplicações para a sintetização de frequência modulada (FM).

(a) Use uma calculadora gráfica para esboçar um gráfico da função f (x), em seguida, use esse gráfico para dar um esboço, mesmo que grosseiro, do gráfico de sua derivada f ′ (x).

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Questão 19

( a ) Decida se a proposição abaixo é verdadeira ou falsa justificando:

S e   x 0     é   u m   p o n t o   d e   i n f l e x ã o ,   e n t ã o   f ' x 0 ≠ 0 .

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Questão 20

Considere f x = x 3                                           ,       s e   x < 0 arctg ⁡ x 2               ,       s e   x ≥ 0 :

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .

c Determine os pontos críticos de f .

d Em quais intervalos f é crescente?

e Em quais intervalos f é decrescente?

f Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

g Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

h Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

j Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

k Esboce o gráfico da função.

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Questão 21

Considere uma função contínua f : R - 1 → R . Com as seguintes propriedades

  1. f é crescente nos intervalos 0,1 e 1,2
  2. f é decrescente nos intervalos - ∞ , 0 e 2 , ∞
  3. lim x → - ∞ ⁡ f x = 1 lim x → ∞ ⁡ f x = 0 lim x → 0 ⁡ f x = - 2 lim x → 1 + ⁡ f x = - ∞ lim x → 1 - ⁡ f x = ∞ f 2 = 3

Responda as questões abaixo

  1. Esboce o gráfico da função f
  2. Quanto vale f 0 ? Quanto vale lim x → 2 ⁡ f x ?
  3. Qual o número mínimo de soluções da equação f x = x ?

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Questão 22

Considere f x = - x e x                       ,       s e   x ≤ 0 x ln ⁡ x               ,       s e   x > 0 :

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .

c Determine os pontos críticos de f .

d Em quais intervalos f é crescente?

e Em quais intervalos f é decrescente?

f Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

g Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

h Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

j Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

k Utilizando as informações obtidas abaixo nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f .

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Questão 23

Considere f definida por f x = e x + e - x

  1. Determine os pontos críticos de f .
  2. Em quais intervalos f é crescente?
  3. Em quais intervalos f é decrescente
  4. Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .
  5. Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .
  6. Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?
  7. Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?
  8. Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .
  9. Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x
  10. Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f .

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Questão 24

Seja g x = log 7 ⁡ x 2 - 1 2 :

( a ) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de g ;

( b ) Determine os pontos de máximos e mínimos locais de g ;

( c ) O gráfico da função g é.

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Questão 25

Encontre as assíntotas verticais e horizontais da seguinte função

f x = x 2 - 5 x x 2 - 6 x + 5

Depois faça um esboço do gráfico de f .

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Questão 26

Considere a função y = f x = x e - x . Determine:

( a ) O domínio de f ;

( b ) Os interceptos;

( c ) As simetrias de f ;

( d ) As assíntotas;

( e ) Intervalos de crescimento e decrescimento;

( f ) Valores máximos e mínimos locais;

( g ) Discuta concavidade e dê os pontos de inflexão;

( h ) Use a informação obtida para esboçar o gráfico de f .

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Questão 27

Considere a função:

f x = x x 2 - 1 3

Cujas derivadas primeira e segunda são, respectivamente:

f ' x = x 2 - 3 3 x 2 - 1 4 3

f ' ' x = 2 x ( 9 - x 2 ) 9 x 2 - 1 7 3

  1. O domínio da função;
  2. As assíntotas horizontais e verticais, caso existam;
  3. Os intervalos onde a função é crescente e decrescente;
  4. Os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam;
  5. Os intervalos onde a concavidade é para cima, onde é para baixo e os pontos de inflexão;
  6. Utilizando as informações adquiridas esboce um gráfico de f .

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Questão 28

Considere a função f x = x ln ⁡ x , definida para x > 0 e x ≠ 1 .

  1. Calcule

    2. i lim x → 0 + ⁡ f x

    i i lim x → + ∞ ⁡ f x

    i i i lim x → 1 - ⁡ f x

    i v lim x → 1 + ⁡ f x

  3. Determine, se existirem:
    1. As assíntotas verticais e horizontais de f ;
    2. Os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente;
    3. Os pontos de máximo e mínimo locais e/ou globais (abscissa e ordenada);
    4. Os intervalos onde f tem concavidade para cima (convexa), concavidade para baixo (côncava) e os pontos de inflexão de f ;
  4. Faça um esboço do gráfico de f

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Questão 29

Esboce o gráfico da função

f x = e - x 2

determinando ( 1 ) domínio, ( 2 ) interceptos, ( 3 ) a existência de assíntotas verticais e horizontais, ( 4 ) intervalos de crescimento e decrescimento, ( 5 ) pontos extremos, ( 6 ) concavidade e ( 7 ) pontos de ineflexão.

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Questão 30

Seja f x = x 2 e x :

( a ) Mostre que f ' x = e x ( x 2 + 2 x ) e que f ' ' x = e x ( x 2 + 4 x + 2 ) .

( b ) Encontre o domínio de f ( x ) .

( c ) Encontre os interceptos de f ( x ) com os eixos coordenados.

( d ) Analise a simetria de f ( x ) .

( e ) Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de f .

( f ) Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f , e os seus pontos de máximo/mínimo.

( g ) Determine os intervalos onde f é côncava para cima/baixo e os seus pontos de inflexão.

( h ) Esboce o gráfico de f usando as informações obtidas nos itens anteriores.

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Questão 31

Considere a seguinte função

f x = x 5 e - x

a Encontre o domínio de f , os pontos de interseção do gráfico de f com os eixos e analise a simetria de f .

b Caso existam, determine as assíntotas horizontais e verticais de f .

c Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f , seus pontos de máximo e mínimo e os seus valores.

d Determine os intervalos onde f tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

e Esboce o gráfico de f usando as informações obtidas nos itens anteriores.

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Questão 32

Esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede:

  • Domínio D de f
  • Paridade de f
  • Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
  • Intervalos de D em que f é contínua
  • Pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical
  • Intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente
  • Extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem
  • Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
  • Extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;
  • Imagem de f

f x = - 1 - 1 x + 1 x 2

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Questão 33

Esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede:

  • Domínio D de f
  • Paridade de f
  • Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
  • Intervalos de D em que f é contínua
  • Pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical
  • Intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente
  • Extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem
  • Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
  • Extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;
  • Imagem de f

f x = 16 - x 2 x - 2 2

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Questão 34

Esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede:

  • Domínio D de f
  • Paridade de f
  • Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
  • Intervalos de D em que f é contínua
  • Pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical
  • Intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente
  • Extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem
  • Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
  • Extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;
  • Imagem de f

f x = 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3

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Questão 35

Considere a função f : R → R dada por f x = x 2 3 x - 2 2

  1. Determine os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente. Determine os pontos de máximo e de mínimo locais de f .
  2. Determine os intervalos onde f possui concavidade para cima e também onde possui concavidade para baixo. Determine os pontos de inflexão de f .
  3. Calcule os limites pertinentes a existência de assíntotas.
  4. Esboce o gráfico de f

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Questão 36

Esboce o gráfico

f x = e x 1 + e x

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Questão 37

Considere

y = f x = x 3 e - x

  1. Verifique que

    2. f ' x = 3 x 2 - x 3 e - x e que f ’ ’ ( x )   = x 3 - 6 x 2 + 6 x e - x

  2. Ache as assíntotas horizontais e verticais caso existam.
  3. Identifique os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.
  4. Encontre os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam.
  5. Identifique os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão
  6. Usando as informações anteriores faça um esboço do gráfico de y = f x

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Questão 38

Considere a função F dada por:

F x = 3 + ∫ 2 x t - 2 t 2 + 5 d t

Determine:

( a ) Os intervalos onde F é crescente, onde F é decrescente e os máximos e mínimos locais, caso existam;

( b ) Os intervalos onde o gráfico de F é côncavo para cima, onde é côncavo para baixo, e as abscissas dos pontos de inflexão, caso existam;

( c ) Os extremos absolutos, caso existam.

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Questão 39

Use o roteiro a seguir para esboçar o gráfico

  • Dê o domínio de f
  • Estude os intervalos onde f é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos
  • Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem
  • Estude a concavidade, destacando os pontos de inflexão
  • Encontre as assíntotas horizontais ou verticais, se existirem
  • Esboce o gráfico

y = x x 2 + 9

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Questão 40

Use o roteiro a seguir para esboçar o gráfico

  • Dê o domínio de f
  • Estude os intervalos onde f é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos
  • Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem
  • Estude a concavidade, destacando os pontos de inflexão
  • Encontre as assíntotas horizontais ou verticais, se existirem
  • Esboce o gráfico

y = ln ⁡ ( s e n   x )

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Questão 41

Use o roteiro a seguir para esboçar o gráfico

  • Dê o domínio de f
  • Estude os intervalos onde f é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos
  • Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem
  • Estude a concavidade, destacando os pontos de inflexão
  • Encontre as assíntotas horizontais ou verticais, se existirem
  • Esboce o gráfico

y = x 2 - 1 3

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Questão 42

Um modelo para a concentração no instate t de uma droga injetada na corrente sanguínea é

C t = K e - a t - e - b t

Onde K ,   a ,   b são constantes positivas e b > a . Esboce o gráfico da função concentração. O que o gráfico nos diz sobre como a concentração varia conforme o tempo passa?

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Questão 43

Considere a função:

f x = ln ⁡ x + 1 x

(i) Encontre o domínio de f .

(ii) Caso existam, determine as assíntotas horizontais e verticais de f .

(iii) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f , seus pontos de máximo e mínimo locais e globais e os seus valores.

(iv) Determine os intervalos onde f tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

(v) Encontre os pontos de interseção do gráfico de f com os eixos e esboce o gráfico de   f usando as informações obtidas nos itens anteriores.

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Questão 44

Use o roteiro a seguir para esboçar o gráfico

  • Dê o domínio de f
  • Estude os intervalos onde f é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos
  • Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem
  • Estude a concavidade, destacando os pontos de inflexão
  • Encontre as assíntotas horizontais ou verticais, se existirem
  • Esboce o gráfico

y = e x / x 2  

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Questão 45

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = x 5 - x

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Questão 46

3) repita o que foi feita no feito no exercício acima para as funções seguintes;

c) f x = x + 1 x - 1

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Questão 47

Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

b )   f x = 3 x 4 - 8 x 3 + 6 x 2 + 2

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Questão 48

Considere a função f x = 2 x e x + 4 .

  1. Determine o domínio de f e os pontos de Interseção do gráfico com os eixos coordenados.
  2. Caso existam, determine as assíntotas horizontais e verticais.
  3. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f , seus pontos de máximo e mínimo e os seus valores.
  4. Determine os intervalos onde f tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
  5. Esboce o gráfico de f usando as informações obtidas nos itens anteriores.

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Questão 49

4) Seja f a função dada por:

f x = x ln ⁡ - 2 x

  1. Determine o domínio da função f
  2. Determine as equações das retas assíntotas horizontais do gráfico de f , caso existam.
  3. Determine as equações das retas assíntotas verticais do gráfico de f , caso existam.
  4. Determine o(s) intervalo(s) de crescimento e de decrescimento de f .
  5. Determine o(s) intervalo(s) onde o gráfico de f tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo
  6. Esboce o gráfico de f e suas retas assíntotas horizontais e verticais, caso existam

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Questão 50

Seja f x = 1 + 4 ln ⁡ x x 4 - 3 . Admita que f ' x = - 16 ln ⁡ x x 5 .

d ) Esboce o gráfico de f ;

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Questão 51

1 6 . Seja f : R → R uma função tal que f ' x = e - 5 x 2 . Então podemos afirmar que:

A : f x < f x + 320 ≤ f x + 320 para todo x ∈ R .

B : f x + 320 > f x + 320 .

C : Existe x ∈ R tal que f x + 1 - f x > 1 .

D : 0 < f x - 1 - f x < 5 para todo x ∈ R .

E : f 322 - f 320 > 11 5 .

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Questão 52

1 0 . Seja y = f ( x ) uma função contínua em x ∈ R     x ≠ 0   } . Suponha que o gráfico da derivada f ' seja dado pela figura abaixo:

Considere as seguintes afirmações sobre o gráfico de f :

I   7 , f 7 é necessariamente um ponto de mínimo local.

I I   3 ,   f 3 é necessariamente um ponto de máximo local.

I I I   f 3 é necessariamente o valor máximo absoluto.

I V   - 5 ,   f - 5 é necessariamente um ponto de inflexão.

Selecione a alternativa correta:

A : As afirmações ( I I I ) e ( I V ) são verdadeiras e ( I ) e ( I I ) são falsas

B : Todas as afirmações são falsas

C : As afirmações ( I I ) e ( I V ) são verdadeiras e ( I ) e ( I I I ) são falsas

D : Todas as afirmações são verdadeiras

E : As afirmações ( I ) e ( I I ) são verdadeiras e ( I I I ) e ( I V ) são falsas

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Questão 53

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x x 2 - 9

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Questão 54

Seja f : R → R   uma função derivável até segunda ordem. O gráfico de sua derivada f ' está ilustrado abaixo. Assinale a afirmação FALSA

a) f tem um único ponto de mínimo local, que ocorrem em x = 1 .

b) A equação f ' ' x = 0   tem pelo menos duas soluções reais distintas.

c) f ' ' x > 0   em ] 0,2 [ .

d) Pode ocorrer de a equação f x = 0 ter exatamente uma solução real.

e) f ' ' ( x ) tem mínimo global.

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Questão 55

Seja f x = e - 1 x x .

( a ) Determine o domínio de f e os intervalos de crescimento e decrescimento de f .

( b ) Verifique que f ' ' x = e - 1 x 2 x 2 - 4 x + a x 5 . Determine a e estude a concavidade de f .

( c ) Calcule os limites necessários e esboce o gráfico de f .

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Questão 56

Nos itens abaixo, para a função h cujo gráfico é mostrado, identifique todos os pontos críticos, os números críticos e os pontos do domínio nos quais a derivada não existe.

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Questão 57

Seja f x = x 3 x - 1 2 :

( a ) Calcule lim x → ∞ ⁡ f ( x ) , lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) , lim x → 1 + ⁡ f ( x ) e lim x → 1 - ⁡ f ( x ) ;

( b ) Verifique que f ' x = x - 3 x 2 x - 1 3 e determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;

( c ) Estude a concavidade de f ;

( d ) Pesquise a existência de assíntotas em ∞ e - ∞ ; esboce o gráfico de f .

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Questão 58

Faça o gráfico de cada uma das funções abaixo e, a partir do gráfico, determine (quando houver) pontos de máximo/mínimo locais/absolutos e máximos/mínimos locais/absolutos.

f x = e x ,   x > 0

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Questão 59

Faça o gráfico de cada uma das funções abaixo e, a partir do gráfico, determine (quando houver) pontos de máximo/mínimo locais/absolutos e máximos/mínimos locais/absolutos.

f x = 1 x ,   x ≥ 1    

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Questão 60

Faça o gráfico de cada uma das funções abaixo e, a partir do gráfico, determine (quando houver) pontos de máximo/mínimo locais/absolutos e máximos/mínimos locais/absolutos.

f x = s e n x ,   0 ≤ x ≤ π 2    

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Questão 61

5. Esboce o gráfico da função f x = x e x , destacando todos os 9 passos utilizados.

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Questão 62

Seja f x = x 2 x

a Determine o domínio de f

b Determine os intervalos de crescimento e os intervalos de decrescimento de f

c Determine os pontos de máximo e de mínimo de f

d Determine todas as assíntotas da curva y = f x

e Esboce o gráfico de f contemplando tudo que foi calculado acima

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Questão 63

  1. Seja a função f x = - x 3 + x 2 , determine:
  1. Esboce o gráfico da função e determine a sua imagem.

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Questão 64

Seja f x = x 2 e x

a Determine o domínio de f

b Determine os intervalos de crescimento e os intervalos de decrescimento de f

c Determine os pontos de máximo e de mínimo de f

d Determine todas as assíntotas da curva y = f x

e Determine todos os pontos de inflexão de f

f Esboce o gráfico de f contemplando tudo que foi calculado acima

g Considere agora a função g x = arccos ⁡ f x A respeito do domínio de g , o que se pode afirmar? Escolha uma das opções abaixo e justifique adequadamente a sua resposta.

i . O domínio é R

i i . O domínio é 0 , π

i i i . O domínio é - π 2 , π 2

i v . O domínio é ( - ∞ , a ] onde 0 ≤ a ≤ 1

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Questão 65

Seja

f x = x l n 2 - 1 x

a) Determine o domínio da função f .

b) Determine as equações das retar assíntotas verticais do gráfico de f , caso existam.

c) Mostre que a reta y = ln ⁡ 2 x - 1 2 é assíntota oblíqua do gráfico de f para a direita (ou seja, quando x → + ∞ )

d) Sabendo que f é crescente em todo o seu domínio e que a reta y = ln ⁡ 2 x - 1 2 é assíntota obliqua do gráfico de f para os dois lados (ou seja, quando x → ∞ e x → - ∞ ), esboce abaixo o gráfico de f e suas retar assíntotas verticais, caso existam.

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Questão 66

Seja f : R \ 1 → R uma função com segunda derivada contínua e tal que:

f - 2 = - 2 f - 1 = - 3 lim x → - ∞ ⁡ f x = - 1 lim x → 1 - ⁡ f x = + ∞ lim x → 1 + ⁡ f x = + ∞ f ' x > 0     e m     - 1 ,   1 f ' x < 0     e m     - ∞ ,   - 1 ∪ 1 , + ∞ f ' ' x < 0     e m     - ∞ ,   - 2 ∪ 3 ,   + ∞ f ' ' x > 0     e m     - 2 ,   1 ∪ 1 ,   3

  1. Determine lim x → + ∞ ⁡ f x . Qual o número de raízes f x = 0 que a função possui?
  2. Esboce, destacando todos os pontos relevantes, o gráfico de f x .

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Questão 67

Considere uma função f : R → R tal que as suas três primeiras derivadas são contínuas e f 3 = f ' 3 = 0 . Além disso, f satisfaz as seguintes propriedades:

f ' ' 3 = 0 e f ' ' não se anula fora de 3 ;

f ' ' ' 3 > 0 .

O que se pode concluir a respeito da concavidade do gráfico de f à direita e à esquerda de 3 ? Faça um esboço de um gráfico compatível com essas informações. Justifique a sua resposta.

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Questão 68

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

f x = x + 1 x

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Questão 69

Considere a função

f x = x e - x 2 2

  1. Determine as assíntotas horizontais e verticais caso existam.
  2. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, bem como os pontos críticos. Encontre e classifique os extremos relativos de f x .
  3. Determine os intervalos de concavidade voltada para cima e para baixo, indicando os pontos de inflexão.
  4. Esboce o gráfico da função, destacando os elementos encontrados nos itens anteriores.

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Questão 70

Considere a função f x = x 4 e - x .

  1. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, bem como os pontos críticos. Encontre os pontos de máximo e mínimo locais de f x .
  2. Determine os intervalos de concavidade voltada para cima e para baixo, indicando os pontos de inflexão, caso existam.
  3. Determine as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
  4. Esboce o gráfico da função, destacando os elementos encontrados nos itens anteriores.

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Questão 71

A figura abaixo representa o gráfico de uma função y = f x .

A figura que mais se aproxima do gráfico de uma primitiva de y = f x é:

a)

b)

c)

d)

e)

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Questão 72

A figura abaixo representa o gráfico de uma função y = f x .

A figura que mais se aproxima do gráfico de uma primitiva de y = f x é:

a)

b)

c)

d)

e)

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Questão 73

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = x - 2 a r c t g ( x )

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Questão 74

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = x - 2 a r c t g ( x )

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Questão 75

Seja

f x = x x - 3 x + 3 2

  1. Encontre as assíntotas horizontais e verticais, caso existam, da função f .
  2. Determine os intervalos onde a função f é crescente ou decrescente. Encontre também os pontos de máximo e mínimo locais e absolutos da função, assim como os respectivos valores da função nesses pontos.
  3. Determine os intervalos onde a função f é côncava para cima ou para baixo, assim como os seus pontos de inflexão.
  4. Use as informações dos itens (a)-(c) para esboçar o gráfico de f .

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Questão 76

Considere a função f dada por f x = x + 2 - ln ⁡ x + 2 2

  1. Encontre, caso existam, as assíntotas verticais de f .
  2. Determine os pontos críticos de f , intervalos onde a função é crescente e onde a função é decrescente.
  3. Encontre os extremos relativos e absolutos de f , caso existam.
  4. Mostre que f é côncava para cima.
  5. Esboce o gráfico de f .

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Questão 77

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = x e x 2

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Questão 78

Considere a função f   : R   →   R dada por:

f x = x 5 5 - x 4 2 - 3 x 3 + 5

  1. Determine, caso exista(m):

    2. (a.1) O(s) intervalo(s) de crescimento e decrescimento de f .

    (a.2) O(s) ponto(s) de máximo local e de mínimo local de f .

    (a.3) O(s) intervalo(s) onde o gráfico de f tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo.

    (a.4) O(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f .

    b) Faça um esboço do gráfico de f indicando explicitamente o(s) ponto(s) de máximo, de mínimo e de inflexão determinado(s) nos itens anteriores. Esboce também a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico de f no(s) ponto(s) em que a derivada é zero e no(s) ponto(s) de inflexão.

    Passo 1

    (a.1) Para saber os intervalos de crescimento e decrescimento temos que analisar o sinal da derivada de f . Então vamos começar derivando a função:

    f ' x = x 4 - 2 x 3 - 9 x 2 = x 2 ( x 2 - 2 x - 9 )

    f ' ( x ) depende apenas de x 2 - 2 x - 9 , pois x 2 é sempre positivo. Como x 2 - 2 x - 9 é uma parábola de concavidade pra cima que corta eixo x em x = 1 - √ 10 e   x = 1   +   √ 10 , ocorre o seguinte:

    Assim:

    Intervalo de crescimento de f : - ∞ ,   1 - 10 ∪ [ 1 + 10 , + ∞ )

    Intervalo de decrescimento de f : 1 - 10 , 1 + 10    

    Passo 2

    (a.2) Vamos achar os pontos críticos para podermos determinar os máximos e mínimos locais, se existirem.

    f ' x = 0

    x 2 x 2 - 2 x - 9 = 0

    x = 0 ,   x =   1 - 10 ,   x = 1 + 10

    A próxima etapa é fazer o Teste da Primeira ou da Segunda derivada. Nesse caso, já que temos o gráfico do item anterior pra ajudar, vamos fazer o Teste da Primeira Derivada, ou seja, analisar o sinal da derivada perto dos pontos críticos. Olha só:

  • Em x =   1 - 10 a derivada muda de positiva para negativa, logo esse é um ponto de máximo local
  • Em x = 0 o sinal da derivada não muda, logo não é nem máximo nem mínimo local
  • Em x = 1 + 10 a derivada muda de negativa para positiva, logo esse é um ponto de mínimo local

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Questão 79

a Esboce o gráfico de f x = x 2 + 2 e - x 2 .

b Para que valores de k a curva y = ln ⁡ x 2 + 2 - ln ⁡ k corta a reta y = x ?

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Questão 80

Considere a curva:

y = x - 3 x 3

Esboce o gráfico da curva determinando, caso existam: Assíntotas horizontais e verticais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos críticos, extremos relativos (locais), concavidades e pontos de inflexão.

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Questão 81

Considere a função f x com derivadas f ' x e f ' ' x dadas por: f x = 16 x 2 - 67 x + 16 8 x - 1 x - 8 f ' x = 504 1 - x 2 8 x - 1 2 x - 8 2 f ' ' x = 1008 2 x + 5 4 x 2 - 10 x + 13 8 x - 1 3 x - 8 3

  1. Dê o domínio de definição de f .
  2. Determine as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
  3. Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos onde a função f é crescente e onde é decrescente.
  4. Encontre os pontos de inflexão de f , se houver, e os intervalos de concavidade para cima e para baixo.
  5. Usando as informações anteriores, faça um esboço do gráfico de f x .

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Questão 82

Para a função h   : R   →   R dada por:

h x = x e - 5 x

a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento.

b)Faça o estudo da concavidade.

c) Determine as assíntotas horizontais.

b) Esboce o gráfico.

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Questão 83

Considere a função g definida por

g x = x 2 - 4 2 x - 4

a) Determine o domínio da função g .

b) Determine os intervalos de crescimento e os de decrescimento de g , caso existam.

c) Determine as equações das retas assíntotas horizontais e verticais do gráfico de g , caso existam.

d) Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico de g e suas retas assíntotas, caso existam.

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Questão 84

Para a função

f x = x 2 - x ³ 3

Determine os pontos críticos, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento e o estudo da concavidade.

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Questão 85

Escreva a equação da reta tangente às curvas y = f ( x ) no ponto especificado. Esboce o gráfico de f ( x ) e da reta tangente.

  1. y = s e n x ,   x = π

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Questão 86

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = x 4

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Questão 87

Esboce o gráfico de

f x = x 2 ln ⁡ x

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Questão 88

Esboce o gráfico de

f x = e 1 x

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Questão 89

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = 3 x 4 - 4 x 3 - 12 x 2 + 1

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Questão 90

Questão 3:

Seja g a função dada por

g x = ln ⁡ 2 x 2 - 8 x - 2 2 .

  1. Determine o domínio da função g .
  2. Determine o(s) intervalo(s) onde g é decrescente.
  3. Determine as equações das retas assíntotas horizontais e verticais do gráfico de g , caso existam.
  4. Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico de g e suas retas assíntotas, caso existam.

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Questão 91

Considere a função f   : - π ,   2 π → R dada por:

f x = 2 π + x - cos ⁡ x

  1. Determine, caso exista(m), o(s) intervalo(s) de crescimento e decrescimento de f .
  2. Determine, caso exista(m), o(s) intervalo(s) onde o gráfico de f tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo.
  3. Faça um esboço do gráfico de f indicando explicitamente o(s) ponto(s) de máximo, de mínimo e de inflexão. Esboce também a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico de f no(s) ponto(s) em que a derivada é zero e no(s) ponto(s) de inflexão.

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Questão 92

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = x 3 - 3 x + 1

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Questão 93

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = 3 x 4 - 4 x 3 - 12 x 2 + 1

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Questão 94

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = x x 2 - x + 1

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Questão 95

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = x 4

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Questão 96

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = x + 1 x

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Questão 97

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = x e x 2

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Questão 98

Seja g a função dada por:

g x = 2 x 2 + 4 x + 3

  1. Encontre os intervalos I 1 e I 2 tais que g é inversível para todo x ∈ I 1 , g é inversível para todo x ∈ I 2 e I 1 ∪ I 2 = I R
  2. Para cada intervalo obtido no item anterior, faça um esboço em um mesmo plano cartesiano da reta y = x com os gráficos das funções g e g - 1
  3. Determine o domínio, a imagem e a expressão da função inversa de g tal que o gráfico de g - 1 passe pelo ponto 3 , - 2

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Questão 99

Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.

  1. Todo ponto crítico é um ponto de máximo ou de mínimo local.
  2. Todo ponto de máxima ou mínimo local é um ponto crítico.
  3. Todo ponto de máximo absoluto é um ponto crítico.
  4. Se uma função não possui máximos e mínimos locais então ela não possui pontos críticos.
  5. Se a é um ponto de máximo ou mínimo local e f é diferenciável em a , então a é um ponto crítico.
  6. Se a é um ponto de máximo ou mínimo local, f é diferenciável em a e a é um ponto interior ao domínio de f , então a é um ponto crítico.

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Questão 100

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x 3 + 6 x 2 + 9 x

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Questão 101

Esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede:

  • Domínio D de f
  • Paridade de f
  • Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
  • Intervalos de D em que f é contínua
  • Pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical
  • Intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente
  • Extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem
  • Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
  • Extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;
  • Imagem de f

f x = x - 5 arctan ⁡ x

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Questão 102

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = e x x

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Questão 103

Seja

f x = x 2 e x

  1. Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f , e os seus pontos de máximo/minimo
  2. Determine os intervalos onde f é côncava para cima/baixo e os seus pontos de inflexão
  3. Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais
  4. Esboce o gráfico de f usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens a , b e c

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Questão 104

1) Seja f : I R   n   1 → I R dada por

f x = x + 1 x - 1   e 1 1 - x

Esboce o gráfico de f localizando intervalos de crescimento e decrescimento, concavidades, limites convenientes e assíntotas (quando existirem). Use que:

f ' x = 3 - x x - 1 3   e 1 1 - x

f ' ' x = 2 x 2 - 11 x + 11 x - 1 5   e 1 1 - x

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Questão 105

3) Considere a função

f x = ln ⁡ x x

Determine, caso existam:

  1. O domínio da função f
  2. As equações das assíntotas verticais do gráfico de f
  3. As equações das assíntotas horizontais do gráfico de f
  4. Os intervalos de crescimento e decrescimento de f
  5. Os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo.
  6. Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico da função f . Marque em seu desenho as assíntotas verticais e horizontais e as abscissas dos pontos de máximo local, mínimo local e de inflexão do gráfico de f , caso existam.

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Questão 106

4) Considere a função f x = x e - x , sendo suas derivadas primeira e segunda dadas, respectivamente, por f ' x = e - x 1 - x e f ' ' x = e - x x - 2 . Siga o roteiro abaixo para esboçar um gráfico de f :

  1. Encontre as raízes de f
  2. Encontre as assíntotas horizontais e verticais de f , caso existam
  3. Identifique os intervalos onde f é crescente e decrescente
  4. Encontre os pontos de máximo e mínimo locais de f caso existam
  5. Identifique os intervalos onde f é côncava para cima ou para baixo, e encontre os seus pontos de inflexão, caso existam
  6. Com base nas informações acima, esboce um gráfico de f

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Questão 107

4) Considere a função g x = x 4 - 4 x 3 + 24

  1. Calcule lim x → - ∞ ⁡ g x e lim x → + ∞ ⁡ g x
  2. Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de g , assim como os seus pontos (se existem) de máximo e mínimo absoluto/relativo.
  3. Determine os intervalos de concavidade para cima/baixo de g, assim como os seus pontos (se existem) de inflexão.
  4. Usando as informações dos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de g, indicando os pontos notáveis obtidos. (Não tente determinar as raízes da função g.)

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Questão 108

Esboce o gráfico de

f x = e 1 x

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Questão 109

Q03) Considere a função

f x = x 2 e - x

Determine caso existam:

  1. As equações das assíntotas verticais do gráfico de f
  2. As equações das assíntotas horizontais do gráfico de f
  3. As equações das assíntotas oblíquas do gráfico de f
  4. Os intervalos de crescimento e decrescimento de f  
  5. Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico da função f e suas retas assíntotas. Marque em seu desenho as abscissas dos pontos de máximo local e mínimo local do gráfico de f , caso existam.

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Questão 110

Considere a função

f x = 3 x - 3 x ²  

definida para x ≠ 0 .

  1. Determine a(s) assíntota(s), calculando os imites necessários.
  2. Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento, bem como extremo(s) local(is).
  3. Analise a concavidade e encontre os pontos de inflexão.
  4. Esboce o gráfico

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Questão 111

Considere f x = 1 1 + x 2                       ,       s e   x < 0 e x 2 - 2 x               ,       s e   x ≥ 0 :

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .

c Determine os pontos críticos de f .

d Em quais intervalos f é crescente?

e Em quais intervalos f é decrescente?

f Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

g Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

h Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

j Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

k Utilizando as informações obtidas abaixo nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f .

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Questão 112

Considere a função

f x = x + 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 - x 2 + 2 x + 1 ,     s e   x ≥ 0

(a) Esboce o gráfico da função f .

(b) Considere um retângulo A B C D satisfazendo as seguintes condições:

  • O vértice A está no eixo x negativo e possui abscissa a
  • O vértice B está no eixo x positivo e possui abscissa b
  • O vértice C está no gráfico da função f e possui abscissa b
  • O vértice D está no gráfico da função f e possui abscissa a

(b.1) Escreva as ordenadas dos vértices C e D em termos de b .

(b.2) Determine o domínio e a expressão da função P b , que fornece o perímetro do retângulo em termos de b

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Questão 113

Considere a função f : I R → I R dada por:

f x = - 3 x 4 + 8 x 3 - 6 x 2 + 2

(a) Determine caso exista(m):

(a.1) O(s) intervalo(s) de crescimento e decrescimento de f

(a.2) O(s) valor(es) de x para os quais a função possui máximo local e mínimo local. Atenção: só serão aceitas respostas com justificativas

(b) Determine caso exista(m):

(b.1) O(s) intervalo(s) onde o gráfico de f tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo

(b.2) A(s) abscissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f . Atenção: só serão aceitas respostas com justificativas

(c) Faça abaixo um esboço do gráfico de f . Indique explicitamente em seu desenho as abscissas dos pontos de máximo, de mínimo e de inflexão determinados nos itens anteriores. Esboce também as retas tangentes ao gráfico de f nos pontos em que a derivada é zero e nos pontos de inflexão.

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Questão 114

Seja f : ] 0 , + ∞ [ → I R uma função derivável tal que:

  1. f 3 = - 2 ;
  2. As retas x = 0 e y = x são assíntotas para f ;
  3. f ' tem exatamente 3 raízes, e o gráfico de f ' no intervalo 1,5 está esboçado na figura abaixo

É correto dizer que o número de raízes de f no intervalo ] 0 , + ∞ [ é

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

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Questão 115

Seja f : ] 0 , + ∞ [ → I R uma função derivável tal que:

  1. f 3 = 2 e f 5 = - 3 ;
  2. As retas x = 0 e y = x são assíntotas para f ;
  3. f ' tem exatamente 4 raízes, e o gráfico de f ' no intervalo 1,6 está esboçado na figura abaixo

É correto dizer que o número de raízes de f no intervalo ] 0 , + ∞ [ é

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

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Questão 116

Seja f : ] 0 , + ∞ [ → I R uma função derivável tal que:

  1. f 3 = - 2 e f 5 = 3 ;
  2. As retas x = 0 e y = - x são assíntotas para f ;
  3. f ' tem exatamente 4 raízes, e o gráfico de f ' no intervalo 1,6 está esboçado na figura abaixo

É correto dizer que o número de raízes de f no intervalo ] 0 , + ∞ [ é

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

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Questão 117

Seja f : ] 0 , + ∞ [ → I R uma função derivável tal que:

  1. f 3 = 2 ;
  2. As retas x = 0 e y = - x são assíntotas para f ;
  3. f ' tem exatamente 3 raízes, e o gráfico de f ' no intervalo 1,5 está esboçado na figura abaixo

É correto dizer que o número de raízes de f no intervalo ] 0 , + ∞ [ é

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

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Questão 118

Considere a função y = f x = x 2 - 4 x - 12 x + 3 .

  1. Verifique que f ' x = x 2 + 6 x x + 3 2 e que f ' ' x = 18 x + 3 3 .
  2. Ache as assíntotas horizontais e verticais caso existam.
  3. Identifique os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.
  4. Encontre os valores de máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam.
  5. Identifique os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
  6. Usando as informações anteriores faça um esboço do gráfico de y = f x

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Questão 119

Considere a função f x = x - 1 2 e x .

  1. Determine as retas assíntotas verticais e horizontais (caso existam), calculando os limites necessários.
  2. Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento, bem como os pontos críticos. Determine os pontos de máximo e mínimos locais, caso existam.
  3. Analise a concavidade e encontre os pontos de inflexão.
  4. Esboce o gráfico da função, destacando os pontos críticos e os pontos de inflexão, bem como as retas assíntotas.

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Questão 120

Esboce o gráfico da função

f x = x 3 1 + x 2

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Questão 121

Considere a função

f x = x 3 - 1 x

  1. Determine o domínio, a primeira derivada e estude o crescimento e decrescimento de f
  2. Determine a derivada de segunda ordem, estude a concavidade de f e determine os possíveis pontos de inflexão
  3. Determine, caso exista, os pontos críticos, de máximos locais, máximos globais, mínimos locais, mínimos globais de f . Justifique o motivo de ser local ou global.
  4. Determine as assíntotas e faça o esboço na figura fornecida abaixo

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Questão 122

Repita o que foi feito no exercício acima para as funções seguintes.

b )   f x = x + 1 2 1 + x 2

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Questão 123

2) Esboce o gráfico de

f x = x 2 ln ⁡ x

Considerando: domínio, interseções com os eixos, limites necessários, regiões de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, regiões de concavidade e pontos de inflexão.

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Questão 124

Esboce o gráfico da função

f x = x e x

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Questão 125

O mecanismo de suspensão dos automóveis consiste num sistema composto de uma mola e de um amortecedor. Denotando por s(t) a posição vertical de um veículo de massa m em relação a posição de equilíbrio, temos que a força da mola é dada, pela lei de Hooke, por F   =   - k s ( t ) e a força do amortecedor é dada por R   =   - b v ( t ) , onde v ( t ) é a velocidade instantânea e a constante b é denominada viscosidade do amortecedor. Como a força resultante é F   +   R , pela Segunda Lei de Newton, temos que

( * )   m a ( t )   =   - k s ( t )   -   b v ( t )

para t   >   0 . Suponha que, em unidades adequadas, m   =   1 ,   b   =   4 e k   =   4 e considere

s ( t )   =   - 3 t e - 2 t

(a) Calcule v ( t ) e a ( t ) e verifique que a equação ( * ) é satisfeita.

(b) Calcule os pontos críticos de s ( t ) e determine seus extremos

locais e seus intervalos de crescimento e decrescimento.

(c) Determine os pontos de inflexão de s t e os intervalos

onde a concavidade é voltada para cima e onde é voltada para baixo.

(d) Determine as assíntotas de s ( t ) e, em seguida, esboce o seu gráfico.

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Questão 126

Dada a função

f x = 2 x 3 + 9 x 2 + 12 x

Determine:

  1. As raízes reais da função
  2. Intervalos de crescimento e de decrescimento
  3. Pontos de máximo relativo (local), pontos de mínimo relativo (local), caso existam
  4. Intervalos das concavidades para cima e para baixo
  5. Pontos de inflexão, caso existam
  6. O esboço do gráfico

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Questão 127

Considere a função y = f ( x ) cujo gráfico é dado na figura abaixo

Com a ajuda da figura, responda às seguintes perguntas:

(i) Quais são as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico da função f ?

(ii) Identifique os intervalos onde a derivada da função f é positiva e os intervalos onde a derivada da função f é negativa

(iii) Quais são os pontos críticos de f ? A função f admite máximos ou mínimos locais nesses pontos?

(iv) A função f é derivável em x = e ? Caso seja, quanto vale f ' ( e ) ? A função f é derivável em x = 15 ? Caso seja, quanto vale f ' ( 15 ) ?

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Questão 128

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = 3 x 2 - 12 x + 5

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Questão 129

Seja

f x = x 2 3 5 2 - x

Faça um esboço do gráfico de f explicitando: domínio, pontos críticos (caso existam), intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão (caso existam) e assíntotas verticais e horizontais ou oblíquas (caso existam).

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Questão 130

Seja a função f definida por:

f x = x 2 e 4 - x

Obtenha, caso existam:

  1. As assíntotas horizontais e verticais do gráfico de f .
  2. Os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente.
  3. Os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima, onde é côncavo para baixo e os pontos de inflexão.

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Questão 131

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = x 3 - 3 x + 1

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Questão 132

Seja

f x = ln ⁡ x x

Complete a seguinte tabela e faça um esboço do gráfico de f . Justifique

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Questão 133

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = x 2 + x - 2

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Questão 134

Esboce os gráficos das funções dadas a seguir:

e)

f x = ln ⁡ 4 - x 2

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Questão 135

Esboce os gráficos das funções dadas a seguir:

f)

f x = x x - 4 3

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Questão 136

A figura abaixo representa o gráfico de uma função y = f x .

A figura que mais se aproxima do gráfico de uma primitiva de y = f x é:

a)

b)

c)

d)

e)

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Questão 137

Esboce os gráficos das funções dadas a seguir:

f x = 2 x 3 x 2 - 1

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Questão 138

Esboce os gráficos das funções dadas a seguir:

c)

f x = x e x

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Questão 139

Esboce os gráficos das funções dadas a seguir:

g)

f x = x x - 1

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Questão 140

Esboce os gráficos das funções dadas a seguir:

i)

f x = x 2 x 2 + 3

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Questão 141

Escreva a equação da reta tangente às curvas y = f ( x ) no ponto especificado. Esboce o gráfico de f ( x ) e da reta tangente.

  1. y = 2 x ,   x = 2

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Questão 142

4) Considere a função f x = 2 - 3 x + 1 x 3 , definida para x ≠ 0

a) Determine as retas assíntotas verticais e horizontais (caso existam), calculando os limites necessários

b) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento, bem como os pontos críticos. Determine os pontos de máximo e mínimo locais, caso existam

c) Analise a concavidade e encontre os pontos de inflexão

d) Esboce o gráfico da função, destacando os pontos críticos e de inflexão, bem como as assíntotas

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Questão 143

Em cada item a seguir, esboce o gráfico de uma função f que satisfaz a todas as condições dadas.

f ' x < 0 para todo x   ∈ R .

f ' ' x < 0 para todo x   ∈ R .

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Questão 144

Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

d )   f x = e x

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Questão 145

Seja f: ⵏR ⟶ ⵏR definida por f ( x ) = { x 2 - 1 ,   s e   | x | ≤ 1 ;   1 - x 2 ,   s e   | x | > 1 .

(a) Esboce o gráfico de f ( x )   ?

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Questão 146

Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo, assíntotas verticais. Note que as derivadas já estão dadas.

c )   f x = 3 4 x 3 ( x - 4 ) ,   f ' x = x - 1 x 2 3 ,   f ' ' x = 1 3 ( x + 2 ) x 5 3

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Questão 147

Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

e )   f x = tan ⁡ x 2 ,   x ∈ - π 2 , π 2

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Questão 148

Seja f x = ln ⁡ 1 + 1 x - 1 1 + x ; x > 0 . Prove (usando derivação) que f x > 0 ; ∀ x > 0 ou prove (usando teoremas de continuidade) que existe um número c > 0 , tal que f c ≤ 0

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Questão 149

Um determinado sistema tem sua capacidade C ( x ) variando com um parâmetro x através de dois modelos definidos dependentes do valor de x . Quando x é não-negativo sabe-se que C 3 x = x - 4 x - 1 2 , e quando x é negativo sabe-se que C x - 3 x 2 = 2 x + 1 . Você é o engenheiro responsável e precisa entender o total funcionamento do sistema com a variação do parâmetro x . Com isso:

  1. Faça o esboço do modelo completo da capacidade do sistema para a variação de x em todo R . (Obs.: Devem ser apresentados todos os cálculos antes do desenho do esboço, englobando todos os passos vistos em teoria em sala).
  2. Os pontos críticos obtidos na capacidade do sistema quando x varia em todo R .
  3. Os pontos de inflexão obtidos na capacidade do sistema quando x varia em todo R .
  4. Sabendo que o sistema funcionará apenas para x ≤ - 1 2 e 0 ≤ x ≤ 3 , determine, caso existam, os máximos e mínimos globais para cada um dos intervalos de funcionamento.

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Questão 150

Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

a )   f x = - 2 x 3 - 3 x 2 + 12 x + 4

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Questão 151

Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

f )   f x = arctan ⁡ ( x )

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Questão 152

Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

h )   f x = x 3 - 2 x

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Questão 153

Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

l )   f x = x 2 - 1 x 3

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Questão 154

Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

i )   f x = 2 x 2 - 8 x 2 - 16

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Questão 155

Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

k )   f x = x + s e n   x ,   x ∈ ( 0,2 π )

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Questão 156

Repita o que foi feito no exercício acima para as funções seguintes.

a )   f x = 2 x + 200 x

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Questão 157

Esboce o gráfico de

f x = e - x ²

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Questão 158

Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

j )   f x = e - x - e - 2 x

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Questão 159

3) repita o que foi feita no feito no exercício acima para as funções seguintes;

d) f x = e - x 2 2

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Questão 160

Em cada item a seguir, esboce o gráfico de uma função f que satisfaz a todas as condições dadas.

c) f ' 0 = f ' 2 = f ' 4 = 0 ,

f ' x > 0 para x < 0 e para 2 < x < 4 ,

f ' x < 0 para 0 < x < 2 e para x > 4 .

f ' ' x > 0 para 1 < x < 3 ,

f ' ' x < 0 para x < 1 e para x > 3 .

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Questão 161

Seja

f x = x 4 5   x 9 - 1 4

Com f ' x = x - 1 5 x 5 e f ' ' x = 4 x + 1 25 x 6 5 . Determine, caso existam:

definida para x ≠ 0 .

  1. Assíntotas horizontais e verticais do gráfico de f
  2. intervalos onde f é crescente e intervalos onde f é decrescente
  3. pontos críticos de f
  4. máximos locais e mínimos locais
  5. intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima e intervalos onde o gráfico de f é côncavo para baixo
  6. pontos de inflexão do gráfico de f
  7. utilizando os resultados dos itens anteriores, esboce o gráfico de f

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Questão 162

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Questão 163

Faça o gráfico de cada uma das funções abaixo e, a partir do gráfico, determine (quando houver) pontos de máximo/mínimo locais/absolutos e máximos/mínimos locais/absolutos.

f x = e x

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Questão 164

Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo, assíntotas verticais. Note que as derivadas já estão dadas.

a )   f x = 16 - x 2 4 x - 2 2 ,   f ' x = x - 8 x - 2 3 ,   f ' ' x = 2 ( 11 - x ) x - 2 4

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Questão 165

3) repita o que foi feita no feito no exercício acima para as funções seguintes;

e) f x = ln ⁡ 1 + x 2

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Questão 166

Esboce o gráfico de

f x = e - x ²

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Questão 167

Nos exercícios 2 . a 5 . esboce o gráfico da função.

4 .   F ( x ) = e | x + 2 |

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Questão 168

Nos exercícios 2 . a 5 . esboce o gráfico da função.

5 .   g ( t ) = 1 2 - e - t

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Questão 169

Nos exercícios 2 . a 5 . esboce o gráfico da função.

2 .   f ( x ) = l n ( | x - 4 | )

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Questão 170

Nos exercícios 2 . a 5 . esboce o gráfico da função.

3 .   f ( x ) = | l n ( | x + 1 | ) |

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Questão 171

O gráfico da derivada y = f ' ( x ) é dado a seguir:

Qual das seguintes alternativas corresponde ao gráfico de y = f x ?

a )  

b )  

c )  

d )

e )  

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Questão 172

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

q )   f x = x x - 1 2 3

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Questão 173

A figura mostra os gráficos de f ,   f ' , f ' ' , f ' ' ' . Identifique cada curva e explique suas escolhas.

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Questão 174

Use o roteiro a seguir para esboçar o gráfico

  • Dê o domínio de f
  • Estude os intervalos onde f é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos
  • Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem
  • Estude a concavidade, destacando os pontos de inflexão
  • Encontre as assíntotas horizontais ou verticais, se existirem
  • Esboce o gráfico

y = x 3 x - 2

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Questão 175

Seja f dada por

f x = arctan ⁡ x 2

  1. Determine s equações das retas assíntotas horizontais do gráfico de f , caso existam.
  2. Determine s equações das retas assíntotas verticais do gráfico de f , caso existam.
  3. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f .
  4. Esboce o gráfico de f e suas retas assíntotas horizontais e verticais, caso existam. Marque em seu esboço as abscissas dos pontos de máximo e mínimo local de f , caso existam.
  5. Determine todos os valores c   ∈ I R para os quais a equação f x - c = 0 possui ao menos uma solução real

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Questão 176

Faça o gráfico de cada uma das funções abaixo e, a partir do gráfico, determine (quando houver) pontos de máximo/mínimo locais/absolutos e máximos/mínimos locais/absolutos.

f x = e x ,   0 ≤ x ≤ 2

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Questão 177

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = x 5 - x

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Questão 178

Esboce o gráfico de

y = x 3 - 2 x 2 + 1

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Questão 179

Esboce o gráfico de

y = x 2 - x + 1 x 2 - x - 2

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Questão 180

Considere a função

y = f x = 2 + x 1 + x 2 ,

cujas derivada e derivada segunda são dadas por:

f ' x = 1 - x 2 1 + x 2 2 f ' ' x = 2 x 3 - 6 x 1 + x 2 3

  1. Calcule o domínio de definição de f .
  2. Calcule as interseções do gráfico de f com os eixos coordenados caso existam.
  3. Calcule os limites de f no infinito e ache as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de f caso exista.
  4. Identifique os pontos críticos, os extremos relativos e os intervalos onde a função f é crescente e onde é decrescente.
  5. Identifique os pontos de inflexão da função f e os intervalos de concavidade para cima e para baixo.
  6. Usando as informações anteriores, faça um esboço do gráfico de y = f ( x ) .

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Questão 181

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x x 2 - 9

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Questão 182

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = x 5 - x

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Questão 183

Use o roteiro a seguir para esboçar o gráfico

  • Dê o domínio de f
  • Estude os intervalos onde f é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos
  • Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem
  • Estude a concavidade, destacando os pontos de inflexão
  • Encontre as assíntotas horizontais ou verticais, se existirem
  • Esboce o gráfico

y = ln ⁡ ( s e n   x )

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Questão 184

3. Uma função f : R → R satisfaz as seguintes propriedades:

  • f 2 = 0
  • lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = 1
  • lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = - ∞ e lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = + ∞
  • lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = 1
  • f é estritamente crescente em 0,2 e ( 2 , + ∞ )
  • f é uma função par
  1. Esboce o gráfico de uma tal função.

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Questão 185

3) Use o roteiro feito em aula para esboçar a curva f x = x 3 + 6 x 2 + 9 x . Indique todos os passos do roteiro, isto será tomado em conta na avaliação.

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Questão 186

3) Esboce o gráfico de uma função f : I R - - 2 → I R que satisfaça as seguintes condições:

  • f é contínua em todo o seu domínio
  • f é crescente nos intervalos - ∞ , - 2 e - 2,1
  • f é decrescente no intervalo 1 , + ∞
  • lim x → - 2 - ⁡ f x = + ∞
  • lim x → - 2 + ⁡ f x = - ∞
  • lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ f x = 1
  • lim x → 1 ⁡ f x = 3

    • Passo 1

    Essa questão facilita a nossa vida no esboço porque ela nos dá tudo, viu? Só vamos precisar interpretar direitinho. Então bora lá. Vamos começar com o domínio:

    D o m f = I R - - 2

    Veja então que a função está definida para qualquer x real menos x = - 2 . Graficamente, isso quer dizer duas coisas:

    Ou a função tem essa cara e x = - 2 simplesmente não está definido...

    ...ou x = - 2 é uma assíntota vertical! Já deu pra ver que vamos precisar ficar de olho nas assíntotas né? Então vamos buscar elas

    Passo 2

    Beleza. Pra buscar assíntotas, temos que lembrar que precisamos fazer limites. Então vou trazer de volta alguns dos limites do enunciado.

    lim x → - 2 - ⁡ f x = + ∞

    lim x → - 2 + ⁡ f x = - ∞

    Mas porque estamos olhando só pra esses dois? Porque, veja bem, em uma função sem assíntotas nenhuma, nem vertical nem horizontal, seja a pertencente ao domínio de f x :

    lim x → a ⁡ f x = f a

    lim x → ± ∞ ⁡ f x = ± ∞

    Agora, se existem assíntotas verticais, o limite para x tendendo ao número, vai ser infinito ou menos infinito e se existem assíntotas horizontais, o limite pros infinitos serão números. Show, se:

    lim x → - 2 - ⁡ f x = + ∞

    lim x → - 2 + ⁡ f x = - ∞

    Então de fato:

    x = - 2 → A s s í n t o t a   V e r t i c a l

    E veja bem, se x se aproxima de - 2 pela esquerda (valores menores que - 2 ), o limite é diferente do x se aproximando pela direita (valores maiores). Sendo a função ainda, segundo o enunciado, crescente nos intervalos - ∞ , - 2 e - 2,1 , acaba que, graficamente, temos algo semelhante à:

    Show, agora vamos ver as assíntotas horizontais. Temos sim informações sobre elas ó:

    lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ f x = 1

    Maravilha, nossa única assíntota horizontal vai ser então:

    y = 1

    E usando essas informações, já da pra fazer um pré esboço:

    Passo 3

    Ok, mas não sentiu falta de um limite não? O que faremos com esse aqui:

    lim x → 1 ⁡ f x = 3

    A primeira coisa que podemos notar nesse limite, é que se a pertence ao domínio de f x , então:

    lim x → a ⁡ f x = f a

    Opa, não é que o limite que faltou se encaixa nesse modelo? Podemos afirmar então que:

    1,3

    É um ponto da nossa curva. Vamos marcar ele então no nosso esboço:

    Passo 4

    Pra fechar, vamos olhar pras informações sobre intervalo de crescimento e decrescimento

  • f é crescente nos intervalos - ∞ , - 2 e - 2,1
  • f é decrescente no intervalo 1 , + ∞

Ou seja, saindo de x = - 2 a função tem que crescer até alcançar o ponto que a gente já sabe que ele passa:

1,3

O esboço vai ficar:

E depois desse ponto, como a função decresce, traçamos uma linha até y = 1 , assíntota horizontal, mas sem nunca tocar nela, ok?

E taí! Questão finalizadíssima. Agora é só partir pro abraço.

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Questão 187

  1. Considere a f : R → R dada por f x = x e - x 2 e suas derivadas f ' x = 1 - 2 x 2 e - x 2   e f ' ' x = 4 x 3 - 6 x e - x 2

f. Faça o esboço do gráfico de f , identificando, caso existam, as assíntotas, os pontos de máximo e mínimo e os pontos de inflexão.

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Questão 188

4) Considere a função f x = x 2 - 4 x - 12 x + 3 , sendo suas derivadas primeira e segunda dadas, respectivamente, por f ' x = x 2 + 6 x x + 3 2 e f ' ' x = 18 x + 3 3 . Siga o roteiro abaixo para esboçar um gráfico de f :

  1. Encontre as raízes de f
  2. Encontre as assíntotas horizontais e verticais de f , caso existam
  3. Identifique os intervalos onde f é crescente e decrescente
  4. Encontre os pontos de máximo e mínimo locais de f caso existam
  5. Identifique os intervalos onde f é côncava para cima ou para baixo, e encontre os seus pontos de inflexão, caso existam
  6. Com base nas informações acima, esboce um gráfico de f

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Questão 189

Nos itens abaixo, para a função h cujo gráfico é mostrado, identifique todos os pontos críticos, os números críticos e os pontos do domínio nos quais a derivada não existe.

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Questão 190

Nos itens abaixo, para a função h cujo gráfico é mostrado, identifique todos os pontos críticos, os números críticos e os pontos do domínio nos quais a derivada não existe.

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Questão 191

Esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede:

  • Domínio D de f
  • Paridade de f
  • Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
  • Intervalos de D em que f é contínua
  • Pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical
  • Intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente
  • Extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem
  • Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
  • Extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;
  • Imagem de f

f x = x + sen ⁡ x

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Questão 192

Esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede:

  • Domínio D de f
  • Paridade de f
  • Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
  • Intervalos de D em que f é contínua
  • Pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical
  • Intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente
  • Extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem
  • Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
  • Extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;
  • Imagem de f

f x = 3 x 2 4 - 4 x + x 2

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Questão 193

Esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede:

  • Domínio D de f
  • Paridade de f
  • Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
  • Intervalos de D em que f é contínua
  • Pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical
  • Intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente
  • Extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem
  • Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
  • Extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;
  • Imagem de f

f x = x 3 - 2 x

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Questão 194

Considere a função p x = 2 x 3 - 3 x 2 - 12 x .

( a ) Determine:

( i )   os limites de p ( x )   quando x tende a - ∞ e quando x tende a ∞ ;

( i i )   os intervalos onde p é crescente e aqueles onde é decrescente;

( i i i )   os pontos de máximo e mínimo locais e/ou globais (abscissas e ordenadas);

( i v )   os intervalos onde a concavidade é para cima (função é convexa) e aqueles onde é para baixo (função é côncava);

( v )   os pontos de inflexão de p .

( b )   Esboce o gráfico de p , respeitando todos os aspectos do gráfico identificados no item ( a ) .

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Questão 195

Encontre, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f x = x . cosh ⁡ x e esboce o seu gráfico.

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Questão 196

Faça o gráfico de cada uma das funções abaixo e, a partir do gráfico, determine (quando houver) pontos de máximo/mínimo locais/absolutos e máximos/mínimos locais/absolutos.

f x = e x ,   x ≥ 0

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Questão 197

Faça o gráfico de cada uma das funções abaixo e, a partir do gráfico, determine (quando houver) pontos de máximo/mínimo locais/absolutos e máximos/mínimos locais/absolutos.

f x = 1 x    

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Questão 198

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = 3 x - 5

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Questão 199

Nos itens abaixo, para a função h cujo gráfico é mostrado, identifique todos os pontos críticos, os números críticos e os pontos do domínio nos quais a derivada não existe.

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Questão 200

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = 3 x 2 - 12 x + 5

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Questão 201

Nos itens abaixo, para a função h cujo gráfico é mostrado, identifique todos os pontos críticos, os números críticos e os pontos do domínio nos quais a derivada não existe.

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Questão 202

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = x - 2 a r c t g ( x )

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Questão 203

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = l n ⁡ ( x 2 + x + 1 )

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Questão 204

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = s e n 3 x

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Questão 205

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = ln ⁡ ( 1 + x 2 )

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Questão 206

Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula é

m = m 0 1 - v 2 / c 2

Em que m 0 é a massa de repouso da partícula, m é a massa quando a partícula se move com velocidade v em relação ao observador e c é a velocidade da luz. Esboce o gráfico de m como uma função v .

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Questão 207

Use o roteiro a seguir para esboçar o gráfico

  • Dê o domínio de f
  • Estude os intervalos onde f é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos
  • Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem
  • Estude a concavidade, destacando os pontos de inflexão
  • Encontre as assíntotas horizontais ou verticais, se existirem
  • Esboce o gráfico

y = x 2 - 4 x 2 - 2 x

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Questão 208

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = x + 1 x

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Questão 209

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = 3 x - 5

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Questão 210

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = l n ⁡ ( x 2 + x + 1 )

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Questão 211

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = x x 2 - x + 1

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Questão 212

Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f x = x - 2 a r c t g ( x )

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Questão 213

4. Considere a função f cujo gráfico está representado abaixo.

Estabeleça a ordem de crescimento dos números 0 ,   f ' - 2 ,   f ' 0 ,   f ' 3 2 ,   f ' 2 ,   f ' 3 e f ' 4 .

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Questão 214

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = 3   s e n   x   -   s e n 3 x

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Questão 215

Considere f x = x 3 + 3 x 2 + 1                                           ,       s e   x < 0 e - x 2                                                                           ,       s e   x ≥ 0 :

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .

c Determine os pontos críticos de f .

d Em quais intervalos f é crescente?

e Em quais intervalos f é decrescente?

f Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

g Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

h Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

j Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

k Esboce o gráfico da função.

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Questão 216

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = 3   s e n   x   -   s e n 3 x

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Questão 217

Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.

  1. Todo ponto crítico é um ponto de máximo ou de mínimo local.
  2. Todo ponto de máxima ou mínimo local é um ponto crítico.
  3. Todo ponto de máximo absoluto é um ponto crítico.
  4. Se uma função não possui máximos e mínimos locais então ela não possui pontos críticos.
  5. Se a é um ponto de máximo ou mínimo local e f é diferenciável em a , então a é um ponto crítico.
  6. Se a é um ponto de máximo ou mínimo local, f é diferenciável em a e a é um ponto interior ao domínio de f , então a é um ponto crítico.

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Questão 218

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = x 2 + x - 2

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Questão 219

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = e x x

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Questão 220

6. Uma folha de papelão mede 10 × 15   c m . Dois quadrados iguais, de lado x , são recortados dos vértices de um lado com 10   c m , como mostra a figura. Dois retângulos iguais são recortados dos outros vértices, de modo que as abas possam ser dobradas para formar uma caixa retangular com tampa.

(a) Escreva uma fórmula V x para o volume da caixa.

(b) Determine o domínio de V x .

(c) Determine o valor de x para que o volume da caixa seja o maior possível.

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Questão 221

Seja f x = - x 4 x 4 - 4

(e) Esboce o gráfico de f usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens (a), (b) e (c), justificando.

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Questão 222

Seja f x = x 2 - 9 x 2 - 4

(e) Esboce o gráfico de f usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens (a), (b) e (c), justificando.

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Questão 223

Seja f x = x e x

(d) Esboce o gráfico de f usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens (a), (b) e (c), justificando.

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Questão 224

Dada a função f x = 2 x e - x 2 , explicite o domínio, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e pontos de inflexão. Finalmente, esboce o gráfico, indicando os pontos importantes que você encontrou.

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Questão 225

Seja f : I R → I R a função definida por f x = x 2 e - x .

(a) Encontre as assíntotas verticais e horizontais caso existam;

(b) Encontre os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente;

(c) Encontre os valores de máximo e mínimo locais;

(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão

(e) Use as informações acima para fazer um esboço do gráfico de f

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Questão 226

Esboce o gráfico

f x = x x + 1

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Questão 227

Esboce o gráfico

f x = e - x 2

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Questão 228

Esboce o gráfico

f x = x 2 - 3 x - 2

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Questão 229

4) Dada a função f x = x + 1 x , explicite o domínio, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e pontos de inflexão. Finalmente, esboce o gráfico, indicando todos os pontos importantes que você encontrou.

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Questão 230

Dada a função f x = x - 5 ln ⁡ x + 2 - 6 x + 2 , determine:

d ) o esboço do gráfico de f ;

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Questão 231

Considere f x = arctg ⁡ x 2 , s e   x < 0 6 x 2 - 4 x 3 ,   s e 0 ≤ x < 2 e - x ,   s e x ≥ 2

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b f é contínua em x = 2 ? f é derivável em x = 2 ?

c Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .

d Determine os pontos críticos de f .

e Em quais intervalos f é crescente?

f Em quais intervalos f é decrescente?

g Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

h Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

j Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

k Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

l Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f .

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Questão 232

Nos itens abaixo, dado o gráfico da função h , determine as concavidades e os pontos de inflexão. Caso algum ponto necessário não esteja explicitamente marcado na figura, dê um nome a esse ponto e escreva sua resposta utilizando-o.

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Questão 233

Nos itens abaixo, para a função h cujo gráfico é mostrado, identifique todos os pontos críticos, os números críticos e os pontos do domínio nos quais a derivada não existe.

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Questão 234

Considere a função y = f x = x x 2 + 9 . Determine:

( a ) O domínio de f ;

( b ) Os interceptos;

( c ) As simetrias de f ;

( d ) As assíntotas;

( e ) Intervalos de crescimento e decrescimento;

( f ) Valores máximos e mínimos locais;

( g ) Discuta concavidade e dê os pontos de inflexão;

( h ) Use a informação obtida para esboçar o gráfico de f .

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Questão 235

Nos itens abaixo, para a função h cujo gráfico é mostrado, identifique todos os pontos críticos, os números críticos e os pontos do domínio nos quais a derivada não existe.

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Questão 236

Nos itens abaixo, dado o gráfico da função h , determine as concavidades e os pontos de inflexão. Caso algum ponto necessário não esteja explicitamente marcado na figura, dê um nome a esse ponto e escreva sua resposta utilizando-o.

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Questão 237

Nos itens abaixo, para a função h cujo gráfico é mostrado, identifique todos os pontos críticos, os números críticos e os pontos do domínio nos quais a derivada não existe.

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Questão 238

Nos itens abaixo, para a função h cujo gráfico é mostrado, identifique todos os pontos críticos, os números críticos e os pontos do domínio nos quais a derivada não existe.

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Questão 239

A função f   ( x ) = s e n   ( x + s e n   ( x   ) ) ,   0 < x < π , aparece em aplicações para a sintetização de frequência modulada (FM).

(b) Calcule f′(x) e utilizando uma calculadora gráfica plote seu gráfico. Compare com o obtido no item (a).

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Questão 240

Conforme ilustra a figura abaixo, as áreas dos retângulos inscritos na circunferência x 2 + y 2 = 16 podemos ser calculadas por meio da função A ( x ) = 4 x 16 - x 2 , com x ∈ 0,4

  1. Calcule os pontos críticos da função A x no intervalo 0,4
  2. Determine os intervalos de crescimento e os de decrescimento da função A x
  3. Determine os intervalos em que a concavidade do gráfico de A x é voltada para baixo e os intervalo em que a concavidade é voltada para cima
  4. Esboce o gráfico de A ( x )

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Questão 241

Suponha que o número de milhares de pessoas infectadas por um vírus seja modelado pela função N t = - 2 t 3 + a t 2 + b t + c , em que a , b   e c são constantes e o tempo t é medido em anos. Suponha ainda que, no instante t = 0 , nove mil pessoas estavam infectadas, uns anos depois esse número atingiu um valor mínimo e, em seguida, cresceu até atingir um valor máximo para t = 2 .

a ) Determine as constantes a , b e c a partir das informações dadas.

b ) Determine o número de pessoas infectadas 1,2   e   3   anos depois do instante t = 0 .

c ) Determine a concavidade de N ( t ) e, em seguida, esboce o seu gráfico para t ∈ 0,3 .

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Questão 242

Durante o processo de tosse, provocado pela presença a traqueia de algum corpo estranho, a traqueia se contrai com o objetivo de aumentar o fluxo de ar através dela, e assim tornar mais eficiente o método de expulsão do corpo estranho. Segundo Pouseiulle, indicando por r 0 o raio da traqueia em estado normal e por r ≤ r 0 o seu raio durante a tosse, o fluxo de ar V = V ( r ) na traqueia pode ser modelado por:

V r = K r 0 2   r 4   s e   0 ≤ r ≤ r 0 2   K r 0 - r r 4   s e   r 0 2 ≤ r < r 0  

Onde K é uma constante positiva.

  1. Determine os pontos críticos de V r no intervalo 0 , r 0
  2. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de V r .
  3. Determine os intervalos em que o gráfico de V r é côncavo para cima ou para baixo.
  4. Use os itens anteriores para esboçar o gráfico de V r no caso em que K = 1

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Questão 243

Considere duas cargas elétricas com carga unitária e positiva, fixadas num eixo perpendicular a uma parede, como na figura abaixo. O potencial elétrico gerado por essas duas partículas num ponto x ao longo desse eixo é dado, em unidades convenientes, pela

seguinte função

V x = 1 x - 1 + 1 x + 1

(a) Verifique que o potencial elétrico é dado por

V x = {               - 2 x 2 - 1 ,   - 1 < x < 1   2 x x 2 - 1   ,         x > 1  

(b) Calcule a força exercida numa partícula de carga unitária posicionada em x , dada

por F ( x )   =   - V ’ ( x ) .

(c) Calcule os pontos críticos de V ( x ) e determine seus extremos locais e seus intervalos

de crescimento e decrescimento. A força F ( x ) se anula em algum ponto?

(d) Determine os pontos de inflexão de V ( x ) e seus intervalos de concavidade para cima

e para baixo.

(e) Determine as assíntotas verticais e horizontais de V ( x ) e esboce seu gráfico.

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Questão 244

Trace o gráfico de uma função contínua y = f (x), tendo todas as seguintes propriedades:

(a) f   ( 0 )   =   10 ;   f   ( − 3 )   =   0 ;   f   ( 3 )   =   0 ;

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Questão 245

Trace o gráfico de uma função contínua y = f (x), tendo todas as seguintes propriedades:

(b) f ′ (x) > 0 para x 0;

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Questão 246

Trace o gráfico de uma função contínua y = f (x), tendo todas as seguintes propriedades:

(c) f” (x) > 0 para x 0 para x > 0;

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Questão 247

Seja f x = 3 arctan ⁡ x 4 x

  1. Determine o domínio da função f
  2. Calcule a derivada da função f
  3. Determine todas as assíntotas da curva y = f ( x ) . Calcule todos os limites necessários e justifique suas respostas.
  4. Esboce o gráfico de f

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Questão 248

Esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede:

  • Domínio D de f
  • Paridade de f
  • Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
  • Intervalos de D em que f é contínua
  • Pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical
  • Intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente
  • Extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem
  • Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
  • Extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;
  • Imagem de f

f x = x - 1 x 2 / 3

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Questão 249

Considere a função: f x = x 4 - 4 x 3 .

( a ) Indique seu domínio e os interceptos.

( b ) Encontre os seus extremos, classifique-os e indique onde a função é crescente ou decrescente.

( c ) Indique onde a função tem concavidade para cima ou para baixo e determine seus pontos de inflexão, caso existam.

( d ) Esboce o gráfico da função.

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Questão 250

O gráfico a seguir representa a função f contínua e derivável em ( - 2,2 ) .

Se no intervalo representado f tem a pontos críticos e b pontos de inflexão, então a   −   b vale

  1. 2
  2. 1
  3. 0
  4. - 1
  5. - 2

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Questão 251

Uma função f tem as seguintes propriedades

D ( f ) = R - { 0 }

f ( 1 ) = 0 ,   f ( 2 ) = 1 ,   f ( 3 ) = 8 / 9

f ' ( x ) < 0   e m   ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 2 , ∞   )   e   f ' ( x ) > 0   e m   ( 0,2 )  

f ' ' ( x ) < 0   e m   ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0,3   )   e   f ' ' ( x ) > 0   e m   ( 3 , ∞ )  

l i m x → ∞ f ( x ) = 0 l i m x → - ∞ f ( x ) = 0

l i m x → 0 f ( x ) = - ∞

  1. i) f é crescente em _____ e decrescente em ______ .

    ii) f ́ é côncava para cima em _____ e côncava para baixo em _____ .

    iii)́ ______ é um ponto de máximo local e ___________ é um ponto de inflexão do gráfico de f .

  2. Esboce o gráfico de f

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Questão 252

Considere a funçao f   :   R   \   { 0 }   →   R definida por:

f ( x ) = x 2 + 1 x

Sobre as assíntotas do gráfico de f ́é correto afirmar que:

a)   y   =   − 1   e   y   =   1 são as únicas assíntotas horizontais e   x   =   0 é a única assíntotas vertical.

b) y   =   1 é a única assíntota horizontal e   x   =   0 é a única assíntotas vertical.

c) y   =   1 é a única assíntota horizontal e não existe assíntotas vertical.

d) y   =   − 1   e   y   =   1 são as únicas assíntotas horizontais e não existe assíntota vertical.

e) Não existem assíntotas horizontais e   x   =   0 é a única assíntotas vertical.

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Questão 253

9. Considere as funções f , g definidas por

f x = x 2 ,   s e   x < - 1 x ,   s e - 1 ≤ x < 1 - x 2 ,   s e   x ≥ 1

E

g x = - x 2 - 1 4 ,   s e   x < 0 x 2 + 1 4 ,   s e   x ≥ 0

A figura que melhor representa o gráfico de f + g é:

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Questão 254

Considere

f x = x e x ,                       s e   x < 0 x - x 2 ,             s e   x ≥ 0

( a ) f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

( b ) Calcule lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) e lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) .

( c ) Determine os pontos críticos de f .

( d ) Em quais intervalos f é crescente?

( e ) Em quais intervalos f é decrescente?

( f ) Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

( g ) Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

( h ) Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

( i ) Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

( j ) Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

( k ) Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f .

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Questão 255

1 5 . Seja f : R → R uma função tal que f ' x = e - 5 x 2 . Então podemos afirmar que:

A : f x < f x + 320 ≤ f x + 320 para todo x ∈ R .

B : f x + 320 > f x + 320 .

C : Existe x ∈ R tal que f x + 1 - f x > 1 .

D : 0 < f x - 1 - f x < 5 para todo x ∈ R .

E : f 322 - f 320 > 11 5 .

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Questão 256

Faça um estudo qualitativo das funções dadas a seguir. Em seguida, esboce seus gráfico, desta-

cando os pontos de máximo e mı́nimo locais e/ou globais, pontos de inflexão e assíntotas (caso

existam).

f ( x )   =   2 x x 2 - 1

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Questão 257

Faça um estudo qualitativo das funções dadas a seguir. Em seguida, esboce seus gráfico, desta-

cando os pontos de máximo e mı́nimo locais e/ou globais, pontos de inflexão e assíntotas (caso

existam).

f ( x )   =   3 x + 1 ( x + 2 ) ( x - 3 )

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Questão 258

Faça um estudo qualitativo das funções dadas a seguir. Em seguida, esboce seus gráfico, desta-

cando os pontos de máximo e mı́nimo locais e/ou globais, pontos de inflexão e assíntotas (caso

existam).

f   ( x )   =   2 x 3   -   12 x 2   +   18 x   -   2

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Questão 259

Considere a função f x = 3 x 4 - 4 x 3 - 12 x 2 + 7 .

a) Esboce o gráfico de f , determinando:

  • Os intervalos onde f é crescente ou decrescente;
  • Os seus máximos e mínimos locais;
  • Os intervalos onde a concavidade é para cima ou para baixo.

b) Determine o número de raízes distintas de f   (isto é, para quantos valores distintos de tem-se f x = 0 ) . Justifique sua resposta.

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Questão 260

Seja f x = x e x .

  1. Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f , e os seus pontos de máximo e mínimo
  2. Determine os intervalos onde f é côncava pra cima/baixo e os seus pontos de inflexão
  3. Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de f
  4. Esboce o gráfico de f usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens a ,   b e c

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Questão 261

Considere a função f : I R → I R dada por:

f x = 3 x 4 - 16 x 3 + 24 x 2

Determine caso exista(m):

(a.1) O(s) intervalo(s) de crescimento e decrescimento de f

(a.2) O(s) valor(es) de x para os quais a função possui máximo local e mínimo local.

(b.1) O(s) intervalo(s) onde o gráfico de f tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo.

(b.2) O(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f .

(c) Faça um esboço do gráfico de f indicando explicitamente o(s) ponto(s) de máximo, de mínimo e de inflexão determinado(s) nos itens anteriores. Esboce também a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico de f no(s) ponto(s) em que a derivada é zero e no(s) ponto(s) de inflexão

(d) A equação f x - c = 0   ,   c   ϵ   I R sempre possui solução? Justifique sua resposta.

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Questão 262

Considere a função f x = - x 2 + 2 x + 1 , cujo domínio é o maior intervalo poss��vel para que f seja inversível e para que o gráfico de f - 1 (a função inversa de f ) passe pelo ponto ( 1,0 )

  1. Determine o domíno de f e de f - 1
  2. Determine uma expressão para f - 1 x
  3. Esboce abaixo a reta y = x e os gráficos das funções f e f - 1 (em seus respectivos domínios)

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Questão 263

A figura abaixo representa o gráfico de uma função y = f x .

A figura que mais se aproxima do gráfico de uma primitiva de y = f x é:

a)

b)

c)

d)

e)

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Questão 264

Considere uma função f : R \ - 2 ,   1 → R com as seguintes propriedades:

  1. f ' x < 0 , para todo x no domínio da função;
  2. f 0 = f 2 = 0
  3. lim x → ± ∞ ⁡ f x = - 1 ;
  4. f ' ' x < 0 para x ∈ - ∞ ,   - 2 ∪ 0 ,   1 e f ' ' x > 0 para x ∈ - 2 ,   0 ∪ 1 ,   + ∞ ;
  5. lim x → - 2 - ⁡ f x = - ∞ e lim x → - 2 + ⁡ f x = + ∞ ;
  6. lim x → 1 - ⁡ f x = - ∞ e lim x → 1 + ⁡ f x = + ∞ .

Faça um esboço do gráfico dessa função.

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Questão 265

Esboce o gráfico de:

f x = π x 3

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Questão 266

Esboce o gráfico de

f x = e 1 x

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Questão 267

Seja

f x = 6 - 6 x x 2

Pede-se:

( a ) D f .

( b ) Intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais.

( c ) Concavidade e pontos de inflexão.

( d ) Assíntotas.

( e ) Esboço do gráfico.

( f ) Imagem de f .

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Questão 268

Seja

f x = e 3 x - e 2 x

a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f

b) Determine os pontos de máximo e de mínimo de f

c) Determine todos os pontos de inflexão de f

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Questão 269

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = ln ⁡ ( 1 + x 2 )

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Questão 270

Esboce o gráfico de

f x = x e - x

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Questão 271

Esboce o gráfico de

f x = x ln ⁡ x

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Questão 272

Considere a seguinte função

f x = x 2 + 1 x 2 - 4

a Encontre o domínio de f , os pontos de interseção do gráfico de f com os eixos e analise a simetria de f .

b Caso existam, determine as assíntotas horizontais e verticais de f .

c Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f , seus pontos de máximo e mínimo e os seus valores.

d Determine os intervalos onde f tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

e Esboce o gráfico de f usando as informações obtidas nos itens anteriores.

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Questão 273

2) Seja f : I R - 0 → I R uma função duas vezes diferenciável em seu domínio tal que:

  1. Faça um esboço do gráfico de f , indicando claramente as regiões de crescimento e decrescimento, os pontos extremos relativos, os pontos extremos absolutos, assíntotas, concavidade do gráfico e pontos de inflexão.
  2. A função f tem quantas raízes em - ∞ , 0 ? E em ( 0,2 ] ? (Se não houver informação suficiente para se determinar a quantidade exata de raízes, indique quais são as quantidades possíveis). Justifique.

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Questão 274

Esboce o gráfico de

f x = e - 1 / x 2 x

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Questão 275

Seja f   :   R *   →   R duas vezes diferenciável e tal que

• f ( x )   ≠   0 ,   ∀ x ∈ R * ,   f - 1 = - 2 e   f ( 1 ) = 3

•   lim  x → 0 - ⁡ f ( x ) = - ∞ , lim  x → 0 + ⁡ f ( x ) = 0 , lim  x → - ∞ ⁡ f ( x ) = - ∞ , lim  x → + ∞ ⁡ f ( x ) = 0

• f ' ' x < 0 se { x ≠ 0 e x   <   2 } ,     f ' ' ( x )   =   0 se x   =   2 ,   f ' ' ( x )   >   0   s e   x   >   2

• o gráfico de f ' está dado abaixo

Nestas condições,

(a) prove que f ( x ) > 0 ,   ∀ x > 0

(b) prove que f ( x ) < 0 ,   ∀ x < 0

(c) esboce um possível gráfico de f

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Questão 276

Esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede:

  • Domínio D de f
  • Paridade de f
  • Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
  • Intervalos de D em que f é contínua
  • Pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical
  • Intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente
  • Extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem
  • Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
  • Extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;
  • Imagem de f

f x = 3 x 2 4 - 4 x + x 2

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Questão 277

Aplicando os conceitos da primeira e segunda derivadas. Qual o gráfico da função definida em R por f x = x 3 - 3 x ?

(a)

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Questão 278

Escreva a equação da reta tangente às curvas y = f ( x ) no ponto especificado. Esboce o gráfico de f ( x ) e da reta tangente.

  1. y = 1 x - 1 ,   n o   p o n t o   - 1 , - 1 2

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Questão 279

Escreva a equação da reta tangente às curvas y = f ( x ) no ponto especificado. Esboce o gráfico de f ( x ) e da reta tangente.

  1. y = x 3 ,   x = 3

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Questão 280

Escreva a equação da reta tangente às curvas y = f ( x ) no ponto especificado. Esboce o gráfico de f ( x ) e da reta tangente.

  1. y = cos ⁡ x + x 2 ,   x = 0

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Questão 281

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

q )   f x = x x - 1 2 3

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Questão 282

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = s e n 3 x

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Questão 283

Esboce o gráfico da função

y = x 3 ( 1 + x 2 ) .

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Questão 284

Esboce o gráfico

f x = x 3 - x 2 + 1

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Questão 285

Esboce o gráfico

f x = x 4 - 2 x 2

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Questão 286

Considere as funções deriváveis f e g cujos gráficos estão esboçados abaixo:

Seja h = f g x . Sabendo que x = 1 é ponto de mínimo local de g e que g 1 = 1 , é correto afirmar que

  1. h ' 1 > 0
  2. h ' 1 < 0
  3. x = 1 é ponto de inflexão de h
  4. x = 1 é ponto de mínimo local de h
  5. x = 1 é ponto de máximo local de h

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Questão 287

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

Parte 1: determine os pontos de máximos, mínimos, inflexão, bem como os intervalos das concavidades

Parte 2: determine as assíntotas (quando existirem) e o esboço do gráfico.

b )   f x = 3 + x x 2 + 1

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Questão 288

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

Parte 1: determine os pontos de máximos, mínimos, inflexão, bem como os intervalos das concavidades

Parte 2: determine as assíntotas (quando existirem) e o esboço do gráfico.

b )   f x = 3 + x x 2 + 1

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Questão 289

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

d )   f x = x 3 x 2 - 1

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Questão 290

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

e )   f x = x 3 x - 1 2

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Questão 291

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

g )   f x = e x x

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Questão 292

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

g )   f x = e x x

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Questão 293

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

d )   f x = x 3 x 2 - 1

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Questão 294

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

e )   f x = x 3 x - 1 2

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Questão 295

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

f )   f x = ln ⁡ x x

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Questão 296

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

f )   f x = ln ⁡ x x

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Questão 297

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

h )   f x = x - 5 ln ⁡ x + 2 - 6 x + 2

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Questão 298

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

i )   f x = arctan ⁡ ( ln ⁡ x )

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Questão 299

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

h )   f x = x - 5 ln ⁡ x + 2 - 6 x + 2

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Questão 300

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

i )   f x = arctan ⁡ ln ⁡ x

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Questão 301

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

j )   f x = x 2 ln ⁡ x

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Questão 302

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

k )   f x = e - 1 x x

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Questão 303

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

m ) f x = 8 ln ⁡ x + 3 x + 3 2

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Questão 304

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

n )   f x = ln ⁡ ( 2 x ) - ln ⁡ ( 3 x 2 + 3 )

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Questão 305

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

j )   f x = x 2 ln ⁡ x

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Questão 306

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

k )   f x = e - 1 x x

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Questão 307

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

l )   f x = 3 - 6 x e 2 / x

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Questão 308

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

l )   f x = 3 - 6 x e 2 / x

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Questão 309

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

m )   f x = 8 ln ⁡ x + 3 x + 3 2

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Questão 310

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

n )   f x = ln ⁡ ( 2 x ) - ln ⁡ ( 3 x 2 + 3 )

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Questão 311

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

o )   f x = x 3 - x 2 3

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Questão 312

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

o )   f x = x 3 - x 2 3

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Questão 313

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

p )   f x = e x - e 3 x

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Questão 314

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

p )   f x = e x - e 3 x

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Questão 315

Esboce os gráficos das funções dadas a seguir:

b)

f x = x 2 x + 1

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Questão 316

Esboce o gráfico da função

y = x ( x 2 - 1 ) 1 3 .

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Questão 317

O gráfico da função derivada f′ de uma função contínua f é dado abaixo.

e) Supondo que f (0) = 0, esboce o gráfico de f

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Questão 318

Em cada item a seguir, esboce o gráfico de uma função f que satisfaz a todas as condições dadas.

b) x = 0 é uma assíntota vertical, f ' x > 0 para x <   - 2 ,     f ' x < 0   p a r a   x > - 2 ,   x ≠ 0 ,   f ' ' x < 0 para x < 0 , f ' ' ' x > 0 para x > 0 .

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Questão 319

Seguindo o roteiro anterior, esboce os gráficos das funções dadas a seguir.

f x = 2 x - x

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Questão 320

Seguindo o roteiro anterior, esboce os gráficos das funções dadas a seguir.

f x = ( 1 - x ) e x

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Questão 321

Seguindo o roteiro anterior, esboce os gráficos das funções dadas a seguir.

f x = 1 1 + e - x

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Questão 322

Em cada item a seguir, esboce o gráfico de uma função f que satisfaz a todas as condições dadas.

(d) f ' x > 0 para todo x ≠ 1 ,

x = 1 é uma assíntota vertical,

f ' ' x > 0 para x < 1 e para x > 3 ,

f ' ' x < 0 para 1 < x < 3

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Listas de Exercícios Resolvidos

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