Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.6 - Ex. 25
a) Faça o gráfico da função
b) Explique a forma do gráfico calculando o limite quando ou quando .
c) Estime os valores máximo e mínimo e então use o cálculo para achar os valores exatos.
d) Use o gráfico de para estimar a coordenada dos pontos de inflexão.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, nessa questão nos é dada a função
E precisaremos responder a alguns itens sobre ela.
No item a) precisaremos fazer o gráfico dessa função. Como essa é uma função mais complicadinha, usaremos um programinha de computador para isso.
No item b) precisaremos explique a forma do gráfico calculando o limite quando ou quando .
No item c) teremos que estimar os valores máximo e mínimo e então use o cálculo para achar os valores exatos. Ou seja, vamos olhar os valores no gráfico encontrado no item a) e depois usar a derivada da função igualada a zero para descobrir seus pontos de máximo e de mínimo.
Já no item d) precisaremos usar o gráfico de para estimar a coordenada dos pontos de inflexão. Para isso devemos lembrar que o ponto de inflexão acontece onde a derivada de segunda ordem for igual a zero. Assim:
Perfeito. Agora que já sabemos o caminho, vamos resolver cada um dos itens pedidos.
Passo 2
Item a). a função que estamos analisando é:
Usando uma calculadora gráfica vemos que nossa função terá essa carinha aqui:
Maravilha.
Passo 3
Item b). Agora vamos explicar a forma do gráfico calculando o limite quando ou quando .
Lembrando daquela propriedade que diz que . Assim, temos que
Conforme
então,
Isso indica que há um buraco em . Conforme , nós temos uma forma indeterminada de .
E para:
E podemos aplicar a regra do L’Hospital
Então,
Isso indica que é uma assíntota horizontal.
Passo 4
Item c). Aqui teremos que estimar os valores máximo e mínimo e usar o cálculo para achar os valores exatos.
Ou seja, vamos olhar os valores no gráfico encontrado no item a) e depois usar a derivada da função igualada a zero para descobrir seus pontos de máximo e de mínimo.
Estimando o máximo pelo gráfico: . Não há mínimo estimado. Nós usamos diferenciação logarítmica para encontrar quaisquer números críticos.
Derivando implicitamente, temos:
Assim, vemos que para , , e para , , então, é um valor máximo.
Esse ponto é aproximadamente , o que concorda com nossa estimativa.
Passo 5
Por fim, no item d) precisamos usar o gráfico de para estimar a coordenada dos pontos de inflexão.
Para isso devemos lembrar que o ponto de inflexão acontece onde a derivada de segunda ordem for igual a zero.
O gráfico de é o seguinte:
Pelo gráfico, nós vemos que em e .
Como troca o sinal nesses valores, eles são coordenadas dos pontos de inflexão.
Resposta
No desenvolvimento.